90 вокруг прямоугольного треугольника описана окружность радиус 8, 5 см, чему равна площадь этого треугольника если длина 1 из его катетов составляет 8см.

Центр окружности описанной вокруг прямоугольного треугольника лежит в центре гипотенузы. Значит гипотенуза равна 8,5*2=17 см
По теореме Пифагора найдем второй катет: 
√(17^2-8^2)= √289-64=√225=15 см
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: 
S=1/2*8*15=60 кв. см

Значит так.
Вспомним что такое равнобедренный треугольник и высота. Равнобедренный треугольник у которого боковые стороны равны и углы при основании равны.
Высота - перпендикуляр проведённый из вершины к противоположной стороне. И он образует прямой угол.
Приступим к задаче:
Пусть треугольник ABC. AC-основание.
т.к. треугольник равнобедренный, то AB=10 и BC=10 (AB и BC боковые стороны)
Высота BH образует два прямоугольных треугольника ABH и BCH.
Можно из треугольника ABH найти AH, по теореме пифагора.
AB^2=BH^2+AH^2 выражаем AH^2
AH^2=AB^2-BH^2=100-64=36
AH=6
таким же образом находим HC  в треугольнике HBC.
т.к. треугольник равнобедренный то HC то же будет равно 6
AC=HC+AH=6+6=12
ОТвет: AC=12

Обозначим равные катеты прямоугольного треугольника - а.

АК и ВМ - медианы. Медианы, проведенные к равным сторонам, равны. АК = ВМ.

Из прямоугольного треугольника САК по теореме Пифагора найдем медиану АК:

АК = √(АС² + СК²) = √(а² + (a/2)²) = √(a² + a²/4) = √(5a²/4) = a√5/2

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины, тогда

OK = ОМ = 1/3 AK = a√5/6

AO = ВО = 2·OK = a√5/3

Из треугольника ОКВ по теореме косинусов:

KB² = KO² + OB² - 2·KO·OB·cosα

a²/4 = (a√5/6)² + (a√5/3)² - 2 · a√5/6 · a√5/3 · cosα

a²/4 = 5a²/36 + 5a²/9 - 2 · 5a²/18 · cosα

1/4 = 5/36 + 5/9 - 5/9 · cosα

cosα = (25/36 - 1/4) : (5/9) = 16/36 · 9/5 = 4/9 · 9/5 = 4/5 = 0,8

По таблице Брадиса  находим, что

α ≈ 37°