Доведіть що для будь-яких довільних точок a, b, c, d виконується рівність ab*cd+ac*db+ad*bc=0. за цієї рівності доведіть , що вистоти трикутника перетинаються в одній точці

Трапеция abcd - равнобедренная ->   угол bad = углу adc = 65 градусам;   угол abc = углу bcd = (360 - 65 - 65)  /  2 (т.к.сумма углов трапеции равно 360, углы при одном основании 65 и 65, и делим пополам, потому что углы при втором основании также равны), то есть уголabc = углу bcd = 115 градусамдиагонали пересекаются в точке о и перпендикулярны -> треугольник aod - прямоугольный и еще он будет равнобедренный, т.к. трапеция равнобедренная. если треугольник aod равнобедренный и угол aod = 90 градусов, то  угол oad =   углу oda = 90 градусов / 2 = 45 (по св-ву прямоугольного треугольника) мы знаем, что угол bad = 65 градусам, а угол oad = 45 градусам -> угол bac = 20 градусам ответ: 20

Треугольник изобразим на рисунке. пусть bl=2a, lc=a, mc=2b, am=b, ak=2c, kb=c. тогда: s_akm = 1/2 * ak * am * sina = 1/2*2c*b*sina=bc*sina, s_kbl = 1/2 * kb * bl *sinb = 1/2 * c * 2a * sinb = ac*sinb s_lcm = 1/2 * lc * mc * sinc = 1/2 * a * 2b * sinc = ab*sinc s_akm  +  s_kbl  +  s_lcm  =  bc*sina  +  ac*sinb +  ab*sinc = 2с другой стороны, s_abc = 1/2 * ab * ac * sina = 1/2 * 3c * 3b * sina  = 9/2 * bc*sina s_abc = 1/2 * ab * bc * sinb = 1/2 * 3c * 3a * sinb = 9/2 * ac*sinb s_abc = 1/2 * bc * ac * sinc = 1/2 * 3a *  3b *  sinc = 9/2 * ab*sinc сложим эти три выражения, получим: 3*s_abc = 9/2 * (bc*sina +  ac*sinb +  ab*sinc) = 9/2 * 2 = 9отсюда s_abc = 3тогда s_klm = s_abc - (s_akm  +  s_kbl  +  s_lcm) = 3 - 2 = 1ответ: 1.