Понять, ! в правильной треугольной пирамиде боковые ребра наклонены к основанию под углом 60 градусов, длина бокового ребра 8 см.найдите объем пирамиды. решение, желательно с подробными обозначениями (например, h - высота основания или h - высота пирамиды) мне нужно именно заранее всем откликнувшимся.

Пирамида правильная -значит все ребра равны Площадь основания по Герона = кор из 12(12-8)*3=12см^2  Медианы основания АВС пересекаются в О  ОД-высота пирамиды  Рассмотр. тр-к АДО  угол ДАО=60   уг АДО=30  АО лежит против 30 иравно  1/2АД=4  ДО по Пифагора  равно кор из 64-16=48=4кор из3  V=12*4кор из3=48кор из3

Поместим пирамиду в систему координат точкой А в начало, АД по оси Ох, АВ по оси Оу.

Имеем координаты её вершин.

А(0; 0; 0), В(0; 10; 0), С(10; 10; 0), Д(10; 0; 0), S(5; 5; 8).

Уравнение плоскости АВСД z = 0.

Находим координаты точек М и К.

М(2,5; 2,5; 4) и К(7,5; 7,5; 4).

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки определяем  по формуле:

x - x1  y - y1  z - z1  

x2 - x1  y2 - y1  z2 - z1        = 0

x3 - x1  y3 - y1  z3 - z1

x - 0          y - 10  z - 0  

(2.5) - 0  (2.5) - 10  4 - 0      =  0

(7.5) - 0  (7.5) - 10  4 - 0

- 0  y - 10 z - 0  

2.5  -7.5    4          =  0

7.5  -2.5    4

(x - 0 )( (-7.5) · 4 - 4 · (-2.5) ) - (y - 10 )( (2.5) · 4 - 4 · (7.5) ) + (z - 0 )( (2.5) · (-2.5) - (-7.5) · (7.5) ) = 0

(-20) (x -  0 ) +  20 (y -  10 ) +  50 (z -  0 ) = 0

-  20 x  +  20 y  +  50 z  -  200   = 0 .

Сократим обе части на -10 и получаем уравнение плоскости МВК:

2x - 2y - 5z + 20 = 0.

Угол между плоскостями

z = 0 и  2x - 2y - 5z + 20 = 0  определяем по формуле:

cos α =   |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2| /√(A1² + B1² + C1² )*√(A2² + B2² + C2²)  

cos α =   |0·2 + 0·(-2) + 1·(-5)| /√(0² + 0² + 1²)* √(2² + (-2)² + (-5)²)  =

=   |0 + 0 + (-5)| /(√1 *√33)  =   5√33/3 3  ≈ 0,87039

α = 29,496° .

Через arctg ответ можно получить без векторного метода.

Линия пересечения заданных плоскостей лежит в плоскости основания АВСД и параллельна диагонали АС.

Отрезок МК пересекает высоту пирамиды в её середине.

Тангенс угла равен 4/(5√2).

α = arctg (4/(5√2)) = arctg (2√2)/5).

Координатный метод. 

(*** некоторые результаты, вроде того, что угол CAD= 30°; -  я привожу без пояснений и "доказательств", предполагается, что вам известны углы между диагоналями и их размеры в правильном шестиугольнике).

Начало координат в точке А, ось X вдоль AD, ось Y в плоскости основания перпендикулярно AD, ось Z - вдоль АА1. Еще я обозначу R = 2 (по смыслу это радиус описанной вокруг шестиугольника окружности). Кроме того, пусть К - проекция точки N на AD.

Плоскость NA1D пересекает ось Х в точке (4, 0, 0) и ось Z в точке (0, 0, 4). 

Кроме этого, она проходит через точку N. 

Координаты точки N (Nx, Ny, 0); Ny = NK равно половине высоты трапеции ABCD,

то есть Ny = (R*√3/2)/2 = √3/2; отсюда Nx = АК = 3/2; (потому что угол CAD равен 30°;) 

Чтобы построить уравнение плоскости NA1D, лучше всего найти координаты точки Q (0, q, 0), в которой прямая DN пересекает ось Y. Это проще, чем высчитывать определитель, задающий уравнение плоскости через координаты точек A1, D и N. 

Треугольники QAD и NKD подобны, поэтому 

AQ/AD = NK/KD; q/4 = (√3/2)/(4 - 3/2); q = 4√3/5;

То есть координаты точки Q (0, 4√3/5, 0); 

Уравнение плоскости A1QD ( она же - плоскость NA1D) теперь записывается автоматически

x/4 + y/(4√3/5) + z/4 = 1;

(если не понятно, как это получается - легко проверить, что точки (4,0,0) (0,4√3/5,0) и (0,0,4) удовлетворяют этому уравнению, а через три точки можно провести только одну плоскость.)

(Примечание. Все предыдущие манипуляции преследовали только одну цель - найти, какой отрезок плоскость отсекает на оси Y.  В общем случае, если известно, что какая-то плоскость отсекает на осях - считая от начала координат, ориентированные отрезки a, b, c - то есть проходит через точки (a,0,0) (0,b,0) (0,0,c), то уравнение плоскости записывается сразу x/a + y/b + z/c = 1). 

Это уравненние можно записать в виде скалярного произведения rp=1; 

r = (x,y,z); это радиус-вектор точки плоскости (то есть его абсолютная величина равна расстоянию от А до точки плоскости).

p = (1/4, 5/4√3, 1/4); 

Теперь задается вопрос "при каком r его длина минимальна?".

В такой постановке сразу ясно, что r коллинеарен (параллелен, пропорционален) p, поскольку при любом другом положении r его длина больше - так как косинус угла между r и p будет меньше 1).

В этом случае rp=1; (абсолютные величины!) и r = 1/p;

То есть для получения ответа осталось вычислить p = IpI;

p = √((1/4)^2 + (1/4)^2 + (5/4√3)^2) = √155/20; а искомое расстояние равно 4√155/31.

проверяйте, может я в числах где ошибся.  

 

Это копия моего решения вот я и тогда не был уверен в числах, и сейчас :)