Докажите, что внешний угол треугольника в два раза больше острого угла между биссектрисами углов, не смежных с ним. решение с чертежом

проведем в тр. авс биссектрисы углов а и в: ак и вм. о - точка пересечения биссектрис.. пусть угол, смежный углу с -  х., а острый угол между биссектрисами: вок = аом = а.

найдем углы 4-угольника мокс:

по свойству внешнего угла тр-ка:

окс = а + в/2 (внешний к тр. вок)

омс = а + а/2 (внешний к тр. аок)

мок = 180-а (смежный с углом а)

еще пригодится соотношение между углами а и в  и а:

а = а/2  +  в/2 (внешний к тр. аов)                                                            (1)

итак угол мск 4-ника мокс, с одной стороны равен 180 - х (как смежный углу х), с другой стороны: мск = 360 - (окс+омс+мок) ( так как сумма всех углов выпуклого 4-ника равна 360 гр). получим уравнение:

360-(а+в/2+а+а/2+180-а) = 180-х

180 - а - (а+в)/2 = 180 - х

и с учетом (1) получим:

-2а = -х

х = 2а,    что и требовалось доказать

p.s.если опять не получится здесь, чертеж вышлю на почту.

 

1способ, допустим боковые стороны равны а. воспользуемся основной формулой площади треугольника: площадь равна произведению стороны и проведенной к ней высоты деленное на два. для первой высоты и боковой стороны формула будет выглядеть так:     для второй высоты и стороны так:     отсюда следует, что и высоты h₁, h₂ равны   2. способ .дан авс (ав=вс) углы а и с равны (свойство р/б), высоты ан и см, рассмотрим   образованные треугольники анс и сма - углы а и с равны , углы анс и сма прямые , ас общая сторона - треугольники равны по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам)  в равных треугольниках  соответствующие стороны равны отсюда следует,что ан и см равны

Радиус вписанной окружности   r =sтр/р, где sтр-площадь треугольника, р- полупериметр треугольника, пусть ад=3,6 -проекция катета ас на гипотенузу ав треугольника авс,< c=90 гр, дв=ав-ад= 10-3,6=6,4, сд перпендикулярна ав,  находим катет сд из прямоугольных треугольников сда исдв: сд²=ас²-ад²=ас²-3,6²=ас²-12,96 сд²=вс²-дв²=вс²-6,4²=вс²-40,96 ас²-12,96=вс²-40,96,   вс²=ас²-12,96+40,96=ас²+28 из данного треугольника авс находим ав²=100=ас²+вс²=ас²+ас²+28 2ас²=100-28=72, ас²=36, ас=6,вс²=ав²-ас²=100-36=64, вс=8 sтр=(вс*ас)/2=(8*6)/2=24,р=(ав+вс+ас)/2= (10+8+6)/2=12 r= sтр/р=24/12=2-искомый радиус