Втреугольнике abc угол b тупой. продолжение высот aa1, bb1, cc1, пересекаються в точке o. докажите , что угол abc=180- угол aoc.

пусть см - высота, опущенная из вершины с на продолжение стороны ав.

угол аос равен углу свм как углы, образованные взаимно перпендикулярными сторонами.

угол авс=180-уголсвм (как смежные), заменим уголсвм на уголаос:

уголавс=180-уголаос

выполнив рисунок, рассмотрим выпуклый 4 -ник а1ос1в. в нем два угла по 90 град (а1 = с1 = 90 гр). так как сумма всех углов выпуклого 4-ника равна 360 гр, сумма двух других углов равна 180 гр.

а1вс1 = авс = 180 - аос   что и требовалось доказать.

Авсда1в1с1д1 - параллелепипед. вд=12 см, ас1=16√2 см,  ∠ас1с=45°. тр-ник асс1 равнобедренный (его углы 90, 45 и 45), значит сс1=ас1/√2=16 см. ас=сс1. площадь основания: sосн=ас·вс/2=16·12/2=96 см². в тр-ке аов (о - точка пересечения диагоналей основания) ао и во - половинки диагоналей. ао=8 см, во=6 см. ав²=ао²+во²=8²+6²=100, ав=10 см периметр: р=4ав=40 см. площадь боковой поверхности: sбок=рh=p·cc1=40·16=640 cм². площадь полной поверхности: sполн=sбок+2sосн=640+2·96=832 см² - это ответ.

Четырехугольник вписанный. по свойству вписанного четырехугольника сумма   его  противоположных углов  равна 180°    (   углы вписанного в окружность четырехугольника -    вписанные . противоположные  углы  опираются на дуги, дополняющие друг друга до 360°, поэтому   их  сумма равна половине от 360°). пусть коэффициент отношения углов равен х. тогда, т.к. углы названы последовательно, противоположными являются углы 5х и 4х   5х+4х=180° х=20°⇒ 7х=20•7=140º 140°+∠№4  =180° ∠№4=180°-140°= 40°