Вправильной шестиугольной призме abcdefa1b1c1d1e1f1 все ребра равны 1.найдите расстояние от т.а до прямой c1d

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.  В правильном шестиугольнике прямая АС перпендикулярна плоскости СС1D1D. Проведем прямую СН перпендикулярно прямой С1D. Точка Н - середина диагонали квадрата СС1D1D.  Значит расстояние от точки А до прямой С1D равно отрезку АН, перпендикулярному к С1D.
По Пифагору АН=√(АС²+СН²). АС=√3 (короткая диагональ правильного шестиугольника со стороной =1). СН=√2/2 (половина диагонали квадрата 1х1).
Следовательно, АН=√(3+(2/4)) = √14/2.
ответ: √14/2.

Sin A = √5/3; cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - 5/9 = 4/9; cos A = √(4/9) = 2/3
A = arccos(2/3) ~ 48 градусов, это острый угол.
cos B = cos(180 - A) = -cos A = -2/3
По теореме косинусов в треугольнике АВС в основании
d^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos B
Здесь d - это диагональ основания, a и b - стороны основания.
d^2 = 1^2 + 3^2 - 2*1*3*(-2/3) = 1 + 9 + 4 = 14
d = √14 - это длина диагонали основания. h = √14 - боковое ребро.
Все это нарисовано на левом рисунке.
Диагональ основания, боковое ребро и большая диагональ пар-педа образуют прямоугольный треугольник. 
Так как d = h, то этот прямоугольный треугольник к тому же равнобедренный.
Угол между большой диагональю AC' и диагональю основания АС = 45 гр.
Это нарисовано на правом рисунке.

Предыдушее решение абсолютно верное.

Вот как все просто, если верно организовать в голове условие. :)

Высота из вершины малого основания в равнобедренной трапеции делит большое основание на отрезки, меньший из которых равен полуразности оснований

(то есть (a - b)/2, где а и b - большое и малое основания)

откуда больший равен полусумме оснований

(потому что а - (a - b)/2 = (a + b)/2)

То есть больший отрезок равен средней линии. 

Осталось сообразить, что треугольник, образованнй этим отрезком, высотой и диагональю - это прямоугольный треугольник с углом 45 градусов (так задано).

То есть он равнобедренный.

То есть средняя линяя равна высоте.

Это всё :).