Составить уравнение окружности концами диаметра которой являются точки b (1; 5) и c (1; 1)

По концам диаметра найдем координаты центра окружности
х((1+1)/2: (5+1)/2)=(1:3)
теперь найдем центр
корень из(1-1)+корень из(5-1)=2
Уравнение окружности:
(х-1)^2+(y-3)^2=4

Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат начала и конца отрезка. Следовательно,  

1). Xd=(Xa+Xb)/2 => Xa=2*Xd - Xb => Xa= -2-8= -10.

Yd=(Ya+Yb)/2 => Ya=2*Yd - Yb => Ya= 14-5= 9.  Точка А(-10;9)

2). Xb=2*Xd - Xa => Xb=8-3=5. Yb=2*Yd - Ya => Yb= -4-0= -4.  Точка B(5;-4).

Параллелограмм - четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны. В данном нам четырехугольнике сторона АВ=√((Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²)=√((-7-2)²+(0-(-5))²)=√(81+25)=√106.

CD=√((Xd-Xc)²+(Yd-Yc)²)=√((3-(-6))²+(-4-1)²)=√(81+25)=√106.

Итак, противоположные стороны АВ и CD равны. Условие параллельности векторов: координаты векторов должны быть пропрпциональны, то есть  их отношение должно быть равно. В нашем случае вектора АВ и CD имеют координаты: АВ{-9;5}, a CD{9;-5}. Xab/Xcd=Yab/Ycd= -1, то есть АВ параллельна CD.

Таким образом, четырехугольник АBCD - параллелограмм, что и требовалось доказать.

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, а центры окружностей лежат на биссектрисе угла ASB. Тогда SK - биссектриса и высота равнобедренного треугольника ASB т.е. SK⊥AB. Аналогично, SН⊥ CD, тогда КН - искомое расстояние между прямыми АВ и CD.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, значит ∠MBS = ∠ODS = 90°.

Угол при вершине S общий для треугольников MBS и ODS, значит треугольники подобны по двум углам.

SM : SO = MB : OD = 36 : 45 = 4 : 5

SO = SM + MO, а МО = 36 + 45 = 81

SM : (SM + 81) = 4 : 5

5SM = 4SM + 324

SM = 324

ΔSBM: ∠SBM = 90°

            cos∠SMB = BM / SM = 36 / 324 = 1/9

ΔMBK: ∠MKB = 90°

            KM = MB · cos∠SMB = 36 · 1/9 = 4

∠SOD = ∠SMB так как треугольники подобны.

ΔODH: ∠OHD = 90°

            OH = OD · cos∠SOD = 45 · 1/9 = 5

KH = KM + MO - OH

KH = 4 + 36 + 45 - 5 = 80