На сторонах ab и ac треугольника abc , в котором ab=bc, взяты точки m и n, соответственно , так , что описанная около треугольника amn окружность касается стороны bc в точке p. пусть q - вторая точка пересечения прямой mp с описанной около треугольника cnp окружностью .найдите отношение ap\ qm

ответ. AP/QM=1. 
Решение. Отметим точку P1, которая симметрична точке P относительно серединного перпендикуляра отрезка AC. Тогда из симметрии понятно, что P1 лежит стороне AB, AP=CP1 и ∠PCP1=∠PAB. Из свойства касательной имеем ∠PCP1=∠PAB=∠BPM, то есть PM∥CP1. Известно, что один угол вписанного четырехугольника равен внешнему углу противоположного. Поэтому ∠PQC=∠PNA=∠PMB, то есть P1M∥CQ. Как видим, четырехугольник MQCP1 — параллелограмм. Значит, APQM=APCP1=1.

Дано:

Правильная треугольная пирамида.

Сторона основания = 9

Боковое ребро = 6

Найти:

S полн поверхности - ?

Решение:

Обозначим данную пирамиду буквами ABCS.

AC = 9

SC = 6

Так как данная пирамида - правильная, треугольная => основание этой пирамиды - равносторонний треугольник.

Равносторонни треугольник - треугольник, у которого все углы и стороны равны.

=> АВ = ВС = АС = 9

S равностороннего △ = а²√3/4, где а - сторона Δ ABC.

S равностороннего △ = 9²√3/4 = 81√3/4 ед.кв.

S боковой поверхности = 1/2(Р осн * L), где Р - периметр основания; L - апофема.

Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины.

SR - апофема

P (периметр) = (АВ + ВС + АС)/2 = (9 * 3) = 27

Апофема делит сторону основания на 2 равные части.

Так как ВС = 9 => BR = RC = 9/2 = 4,5

△SRC - прямоугольный, так как SR - высота.

Найдём апофему SR, по теореме Пифагора: (с = √(a² + b²), где с - гипотенуза; а, b - катеты)

SR = √(SC² - RC²) = √(6² - (4,5)²) = 3√7/2

S боковой поверхности = (27 * 3√7/2)/2 = 81√7/4 ед.кв.

S полной поверхности = S основания + S боковой поверхности = 81√3/4 + 81√7/4 = 81/4 * (√3 + √7) = 20,25 * (√3 + √7) ед.кв.

ответ: 20,25 * (√3 + √7) ед.кв.

Дано:

Правильная треугольная пирамида.

Сторона основания = 9

Боковое ребро = 6

Найти:

S полн поверхности - ?

Решение:

Обозначим данную пирамиду буквами ABCS.

AC = 9

SC = 6

Так как данная пирамида - правильная, треугольная => основание этой пирамиды - равносторонний треугольник.

Равносторонни треугольник - треугольник, у которого все углы и стороны равны.

=> АВ = ВС = АС = 9

S равностороннего △ = а²√3/4, где а - сторона Δ ABC.

S равностороннего △ = 9²√3/4 = 81√3/4 ед.кв.

S боковой поверхности = 1/2(Р осн * L), где Р - периметр основания; L - апофема.

Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины.

SR - апофема

P (периметр) = (АВ + ВС + АС)/2 = (9 * 3) = 27

Апофема делит сторону основания на 2 равные части.

Так как ВС = 9 => BR = RC = 9/2 = 4,5

△SRC - прямоугольный, так как SR - высота.

Найдём апофему SR, по теореме Пифагора: (с = √(a² + b²), где с - гипотенуза; а, b - катеты)

SR = √(SC² - RC²) = √(6² - (4,5)²) = 3√7/2

S боковой поверхности = (27 * 3√7/2)/2 = 81√7/4 ед.кв.

S полной поверхности = S основания + S боковой поверхности = 81√3/4 + 81√7/4 = 81/4 * (√3 + √7) = 20,25 * (√3 + √7) ед.кв.

ответ: 20,25 * (√3 + √7) ед.кв.