Як знайти основу рівнобедреного трикутника, якщо бічна сторона = 6 см, а кут при вершині 120 градусів

ΔABC: AB=BC=6
<B=120
<A=<C=30
BD -высота
ΔBDA: AB=6, <A=30, <D=90
cos<A=AD/AB
cos30=AD/6, AD=6*(√3/2), AD=3√3
AC=2*3√3
AC=6√3

Дано: AB =36 см ;BC =30 см ; AC =20 см ; ∠ABD =∠CBD=(1/2)*∠ABC.

AD - ? DC -?

AD/DC =AB/BC (теорема о биссектрисе).
AD/DC  =36/30 ;
AD/DC =6/5 ;обозначаем AD=6k ; DC=5k ⇒AC =AD+DC =(6+5)*k=11k ;
20 =11k⇒k =20/11.
AD=6k =6*20/11=120/11  ; DC=5k=5*20/11 100/11.
* * * сразу   отрезок AC =20 см разделить пропорц на 6 : 5  * * *
AD =6*( AC/(6+5) )   =6*( 20/11) =120/11 см.     ( 10 10/11  см)
DC =5*( AC/(6+5) )   =5*( 20/11) =100/11 см.    ( 9 1/11  см)

AD/DC=AB/BC⇔1+AD/DC =1+ AB/BC ⇔AC/DC =1+ AB/BC⇒
20/DC =1+36/30⇔20/DC =1+6/5 ⇒DC ⇔20/DC =(5+6)/5 ⇒
DC =5* 20/(5+6)= 5* 20/11 =100/11 .
аналогично AD=6* 20/(5+6)= 6* 20/11 =120/11.

AD/DC=AB/BC
AD/(AC-AD) =AB/BC.  || можно обозначать AD= x⇒DC=AC-x =20 -x.  ||
x/(20-x) =36/30 ⇔ x/(20-x) =6/5⇔5x =6(20-x)⇔5x =6*20 - 6x⇔11x =6*20⇒
x =6*20/11 =120/11 ;DC= 20 - 6*20/11  =(20*11 - 6*20)/11 =20(11-6)/11 =
=  5*20/11 =100/11.

Рассмотрим ∆АВD.

P – середина АВ по условию;

Т – середина АD по условию;

Следовательно РТ – средняя линия ∆ABD. Средняя линия треугольника вдвое меньше стороны треугольника, которой она параллельна.

PT//BD так как средняя линия параллельна одной из сторон треугольника.

Тогда РТ=0,5*BD=0,5*8=4 см

Рассмотрим ∆BCD.

Q – середина СВ по условию;

R – середина CD по условию;

Следовательно QR – средняя линия ∆BCD. Средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна.

QR//BD так как средняя линия параллельна одной из сторон треугольника.

Тогда QR=0,5*BD=0,5*8=4 см.

PT//BD и QR//BD => РТ//QR.

РТ=4 см; QR=4 см => РТ=QR.

Тогда получим что, две противоположные стороны четырехугольника PQRT параллельны и равны, следовательно четырехугольник PQRT – параллелограмм.

Рассмотрим ∆PBQ u ∆ABC.

Угол АВС – общий;

Так как точка Р – середина АВ, то РВ равна половине АВ

Следовательно РВ/АВ=1/2;

Так как точка Q – середина СВ, то QB равно половине СВ

Тогда QB/CB=1/2;

Исходя из найденного, ∆PBQ~∆ABC по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, а коэффициент подобия треугольников 1/2.

Следовательно PQ/AC=1/2;

2/AC=1/2;

AC=2*2

AC=4 см.

ответ: Параллелограмм; РТ=4 см; АС=4 см.