Дана хорда окружности длиной 30 см. через еѐ концы проведены две касательные, которые пересекаются в точке а . найдите расстояние от точки а до хорды, если радиус окружности 17 см.

Обозначим хорду ВС, пересечение АО с ВС обозначим К. Тогда АО перпендикулярна к ВС и в прямоугольном треугольнике АСО СК является высотой. КО= корень из(17^2-15^2)=8 Высота в прямоугольном треугольнике , проведенная из вершины прямого угла к стороне , может быть вычислена по формуле Н= корень из АК*КО, отсюда 15=корень из8*АО, возведем в квадрат 225=8*АО   АО=225/8=28,125

Для доказательства равенства отрезков следует доказать равенство треугольников, образованных указанными отрезками, высотой равнобедренного треугольника,которая как раз соединяет вершину равнобедренного треугольника и середину основания, и сторонами равносторонних треугольников, построенных на сторонах равнобедренного треугольника.
Доказательство проводится через признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. Стороны равны по условию и построению, а углы равны по условию и по тому, что высота в равнобедренном треугольнике является также и биссектрисой.

Обозначим диагональ равнобокой трапеции за d (диагонали равны). Тогда площадь можно выразить через диагонали и угол между ними - S=1/2*d²*sin(a), где sin(a) - синус угла между диагоналями. Мы знаем, что 1/2*d²*sin(a)=1, d²*sin(a)=2. Значение d будет наименьшим в случае, если значение sina наибольшее. Оно наибольшее, когда a=90 градусам, то есть, когда диагонали пересекаются под прямым углом. В этом случае sin(a)=1, d²=2, d=√2. Таким образом, наименьшее значение диагонали равнобокой трапеции с площадью 1м² - √2м.