Уциліндрі паралельно осі проведено площину, яка перетинає нижню основу по хорді , що стягує дугу 120 градусів .відрізок , що сполучає центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої основи , утворює з площиною основи кут 30 градусів .знайти радіус основи циліндра , якщо площа перерізу 64 см^2

Дуга окружности равна центральному углу опирающемуся на дугу
по теореме косинусов
АВ²=АО²+ОВ²-2АО·ОВ·сosAOB
AB²=2R²-2R²·(-1/2)
AB=(√3)R
H/R=tg30
H=R/√3
BC=H
S(сечения)=AB·BC=AB·H=(√3)R·(R/√3)=R²=64
R=8

Cначало   разберемся где будет   висеть наша точка с1.
Предположим что она лежит внутри внутри второй окружности. НО тогда  с1с2=6 или с1с2<8.  Или   если она лежит на 2 дуге в пересечении,то  оно  не превышает сумму радиусов 8+6=14<20 что противоречит  условию. То  единственное положение для точки  c1 вне  круга на  последнем пересечении.
Разберемся с положением  точки с2: Если она располагается на 2  или первой  дуге пересечений то c1c1<=6 что  не подходит. То  с2  находится на 1 пересечении  слева. Проведем  вс общую  хорду AB.  Проведем  радиусы в  каждой окружности  к точкам A и B. То  треугольники  O2AO1 и O2BO1  равны по 3  сторонам. Откуда   углы BO2O1=AO2O1.  ТО выходит  что  O1O2-биссектриса   равнобедренного  треугольника BO2A.  То  она медиана и высота к хорде AB. (AS=BS)
Ну  дальше дело техники. На  рисунке  указаны углы a и b. И  смежные им  углы.       AS=8*sina  BS=6*sinb 8sina=6sinb
 sina=3/4 *sinb  тк  sin(180-Ф)=sinФ
SAC1O1=1/2*36*sinb
SBC2O2=1/2*64*3/4 *sinb
Переумножим:
SAC1O1*SBC2O2=8*3*18*sin^2b=336
sin^2b=336/8*3*18=7/9
cos^2b=1-7/9=2/9
cosb=√2/3.
sin^2a=9/16 *sin^2b=7/16
cos^2a=1-7/16=9/16
cosa=3/4
O1O2=8*cosa+6cosb=8*3/4+6*√2/3=6(1+√2/3)=6*(3+√2)/3=2*(3+√2)
ответ: 6+2√2 ответ неважный.  Рекомендую  проверить  арифметику.

По условию О₂ - центр вневписанной окружности, т.е. О₂ лежит на пересечении биссектрис внешних углов треугольника ABC при углах B и С. Т.к. BO₁ и BO₂ - биссектрисы углов, сумма которых равна 180°, то ∠O₁BO₂=90°. Аналогично, ∠O₁СO₂=90°. Значит O₁BO₂C вписан в окружность c диаметром O₁O₂. Значит, по т. синусов для треугольника BO₁С получаем O₁O₂=BC/sin(BO₁C). Дальше, т.к. O₁ лежит на пересечении биссектрис углов ∠ABC и ∠AСB, то ∠BAC=2∠BO₁C-180°, и значит sin(∠BAC)=-sin(2∠BO₁C), т.е. по т. синусов для треугольника АBC получаем BC=-2Rsin(2∠BO₁C), где R - радиус окружности описанной около АBC. Итак,
O₁O₂=-2Rsin(2∠BO₁C)/sin(BO₁C)=-4Rcos(BO₁C)=4·6√(1-5/9)=16.