На сторонах ас и вс треугольника авс вне треугольника построены квадраты acde и bfkc. точка м – середина стороны. а) докажите, что см =1/2dk. б) найдите расстояние от точки м до центров квадратов, если ас=6, вс=10 и угол асв равен 30°.

Вся эта конструкция является частью замощения плоскости, представленного на рисунке.
Замощение переходит "в себя" при повороте всей плоскости на 90° вокруг центра любого из квадратов.
Все "белые" параллелограммы равны между собой. Отсюда следует а).
б) Фигура, изображенная красным на рисунке - это квадрат. Поскольку, к примеру, две её стороны, выходящие из центра большего квадрата, равны и перпендикулярны (еще раз - одна переходит в другую при повороте на 90° вокруг их общей вершины). То же касается и двух сторон, у которых общая вершина - центр меньшего квадрата.
Поэтому расстояние от M до центров квадратов одинаковое, и равно стороне красного квадрата. Проще всего найти диагональ этого квадрата - надо соединить центры большого и малого квадратов с точкой C и между собой. Получится треугольник O1O2C с углом O1CO2;
∠O1CO2 = ∠ACB + ∠O1CA + ∠O2CB = 30° + 45° + 45° = 120°; и сторонами AO1 = 6√2/2 = 3√2; BO2 = 10√2/2 = 5√2;
Отсюда (O1O2)^2 = (5√2)^2 + (3√2)^2 + 2*(5√2)*(3√2)*(1/2) = 2*49;
O1O2 = 7√2; откуда MO1 = MO2 = 7;

30 см

Объяснение:

                                      Рассмотрим вложение.

                          Нам дан ΔАВС: ∠А = 90°, ВС = 13 см

Пусть АВ = х см, тогда АС = х + 7 см. Воспользуемся т.Пифагора для нахождения стороны.

АВ² + АС² = ВС²

х² + (х + 7)² = 13²

х² + х² + 14х + 49 = 169

2х² + 14х + 49 - 169 = 0

2х² + 14х - 120 = 0 |:2

х² + 7х - 60 = 0

D = 7² - 4 * (-60) = 49 + 240 = 289 = 17²

x₁ = (-7 - 17)/2 = -24/2 = -12

x₂ = (-7 + 17)/2 = 10/2 = 5

т.к. сторона не может быть отрицательна, то АВ = 5 см, тогда

                                           АС = 5 + 7 = 12 см

Чтобы найти периметр треугольника, надо сложить все стороны.

                         Р = АВ + ВС + АС = 5 + 13 + 12 = 30 см

Ладно, это одна из "любимых" тем - тетраэдр, вписанный в куб. Я напишу решение, но вам придется разбираться и оформлять самостоятельно.
а)
     Фигура ACB1B - правильная треугольная пирамида. В основании её равносторонний треугольник ACB1: AC = AB1 = CB1 (диагонали граней куба), и боковые ребра равны между собой BA = BC = BB1; (это просто стороны куба). Это означает, что точка B проектируется на плоскость ACB1 в центр треугольника ACB1 - точку O. (ну, у равностороннего треугольника все центры совпадают, можете выбирать, какой именно центр, но по логике это центр описанной окружности). То есть, BO перпендикулярно плоскости ACB1.
     Фигура ACB1D1 - тоже правильная треугольная пирамида, причем у неё равны между собой все ребра (все ребра этой пирамиды - диагонали граней куба). Поэтому D1O перпендикулярно плоскости ACB1; (аналогично предыдущему абзацу).
     Поскольку через точку O можно провести только один перпендикуляр к плоскости ACB1, точки B, O, D1 лежат на одной прямой, перпендикулярной плоскости ACB1, что и требовалось доказать.
б)
Легко видеть, что прямая C1D перпендикулярна плоскости A1D1C (в этой плоскости еще и точка B лежит), потому что C1D перпендикулярна D1C и A1D1 (A1D1 перпендикулярная грани CC1D1D). Точно также прямая A1D перпендикулярная плоскости AD1C1 (тоже, кстати, проходящей через точку B).
Поэтому (внимание! это - решение!) угол между плоскостями равен углу между прямыми  A1D и C1D.
Поскольку треугольник A1DC1 - равносторонний, искомый угол равен 60°