:через точку о пересечения диагоналей равнобедренной трапеции abcd ( ad||bc) со взаимно перпендикулярными диагоналями проведена прямая mk, перпендикулярная к стороне cd (точка m лежит на ab, точка k- на cd найти mk, если ad=40 bc=30

AOD и BOC - равнобедренные прямоугольные треугольники с известными гипотенузами. Отсюда легко видеть, что AO = OD = 20√2; BO = OC = 15√2;
Треугольник COD прямоугольный с известными катетами, откуда легко найти и CD = 25√2;
Это просто египетский треугольник 3,4,5, коэффициент подобия 5√2.
(ВНИМАНИЕ! - читать внимательно).
Поскольку равнобедренная трапеция может быть вписана в окружность, OM является медианой треугольника AOB;
Строится описанная окружность.
∠MOA = ∠KOC;
∠COK = ∠DOC; (стороны углов перпендикулярны)
∠BAO = ∠ODC; (вписанные углы, оба опираются на дугу CB)
=> ΔMAO - равнобедренный; углы при стороне AO равны,
=> AM = MO;
На гипотенузе прямоугольного ΔABO есть только одна точка, равноудаленная от вершины прямого угла и вершины острого - её середина => OM - медиана треугольника AOB; 
Поэтому надо найти сумму длин высоты и медианы к гипотенузе в египетском треугольнике с коэффициентом подобия 5√2;
высота треугольника 3,4,5 равна 3*4/5 = 2,4; медиана 2,5; в сумме 4,9 и остается умножить на 5√2;
ответ 49√2/2;

1)г.
2)б.
3)а.
4)в.
5)я прикрепила картинку к этому заданию.Не забудь написать «Дано: треугольникABC; a=7;b=8;c=5. Найти : <А-?» ответ , кстати , в конце <А=60 градусов.(просто не поместилось.)
6)AB=10x​

​S=pr​

​p=13x+13x+10x2=18x​

​S=p(p−13x)(p−13x)(p−10x)‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√​ — по формуле Герона.

приравниваем два равенства и находим х

​10∗18x=p(p−13x)(p−13x)(p−10x)‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√​180x=18x∗5x∗5x∗8x‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√

​180x=60x2​

​x=3​

​AB=10x=30​

ответ: 30

7) если СК биссектриса, то по ее свойству если СЕ/СВ=3:1 то и КЕ:ВК=3:1
Обозначим ВК=у, КЕ=3у значит, ВЕ=4у
т.к. угол ВОЕ центральный для угла С, то он=120 и тогда ∠ВОК=60
ВМ=ВО*sin 60
BM=8√3*√3/2=12 ВЕ=4у=24 ⇒ у=6 3у=3*6=18

8) 1. Теорема синусов для треугольника КОР KP/sin KOP=OP/sin OKP sin OKP=3*sqrt2*sqrt2/2/5=3/5 cos^2(OKP)=1-sin^2(OKP)=(4/5)^2 Т.к. КОР тупой, то ОКР острый, cos OKP=4/5
2. sin OPK=sin(180-KOP- OKP)=sin(KOP+OKP)=sin KOP*cos OKP+cos KOP*sin OKP sin OPK=sqrt2/2*(4/5-3/5)=sqrt2/10
3. S(KMP)=2*S(KOP)=OP*KP*sin OPK=3*sqrt2*5* sqrt2/10=3

9) Если диагонали трапеции перпендикулярны, то площадь можно найти по следующим формулам: S-Һв квадрате, где һ-высота или S-(a+b)в квадрате/4, где а иb -основания Воспользуемся последней формулой!Т к дана длина ср линии трапеции, то можно найти сумму длин оснований трапеци: ср линия3 1/2(а+b); 5%31/2(а+b); (а+b)-10см Найдем S- (а+b)в квадрате/4 %3D10в квадрате/ 4-25см2

10)в.

Прямокутник АВСД, діагоналі АС та ВД перетинаються в т. О.
ОН - відстань від т. О до більшої сторони прямокутника ВС (отже ОН - висота трикутника ВСО)
ОМ - відстань від т. О до більшої сторони прямокутника АД (отже ОМ - висота трикутника АДО)
ОР - відстань від т. О до меншої сторони прямокутника АВ (отже ОР - висота трикутника АВО)
ОК - відстань від т. О до меншої сторони прямокутника СД (отже ОК - висота трикутника СДО)
Оскільки  Діагоналі прямокутника мають однакову довжину, а також  в точці перетину діляться навпіл, значить трикутник ВСО=трикутнику АДО та трикутник АВО=трикутнику СДО.
А це означає, що і висоти у попарно рівних трикутниках між собою рівні, а саме
ОК=ОР, а ОН=ОМ.
Виходить, що  ОН=ОМ=4 см та ОК=ОР=9 см (по умові задачі сказано, що точка перетину його діагоналей віддалена від його сторін на 4 см і на 9 см).

У прямокутника протилежні сторони рівні.
АВ=СД=ОН+ОМ=4+4=8 см
ВС=АД=ОР+ОК=9+9=18  см
Периметр = сумі довжин усіх сторін прямокутника
Периметр = АВ+ВС+СД+АД
Отже
Периметр = 8+18+8+18=52 см

Відповідь: периметр прямокутника=52 см