Точка дотику кола, вписаного у прямокутний трикутник, ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 4см і 6см. знайдіть периметр трикутника.

Треугольник АВС: угол С - прямой.
Вписанный круг с центром О касается сторон треугольника АВ, ВС и АС в точках К, М и Н соответственно.
По условию АК=4, ВК=6
По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки:
АК=АН=4
ВК=ВМ=6
СМ=СН=х
Получается, что гипотенуза АВ=АК+ВК=4+6=10
катет АС=АН+СН=4+х
катет ВС=ВМ+СМ=6+х
По т.Пифагора: АВ²=АС²+ВС²
10²=(4+х)²+(6+х)²
100=16+8х+х²+36+12х+х²
х²+10х-24=0
D=100+96=196
х₂=(-10-14)/2=-12 не подходит
х₁=(-10+14)/2=2
катет АС=4+2=6
катет ВС=6+2=8
Периметр S=10+6+8=24

Нарисуй чертеж
ВМ=МС=а
AN=ND=b  (это обозничили мы так)
треугольники APN и MPB подобны с коэффициентом  b/a,и высоты тоже

треуг. NQD и CQM подобны с тем же коэфф  b/a  и высоты тоже.
но если у треуг. APN  и  NQD  AN=ND, то и высоты равны. Т.е. точки P и Q находятся на одинаковом расстоянии от AD
что и требовалось доказать.

если по поводу высот , что они равны , непонятка, то это следует из того, что отношения высот малого и большого треуг. равно одному и тому же коэффициенту, а сумма этих высот постоянна (высота трапеции)

Треугольная пирамида, все боковые ребра равны, => высота пирамиды проектируется в центр описанной около треугольника (основания пирамиды) окружности.
радиус описанной около произвольного  треугольника окружности вычисляется по формуле:

AC=1, BC=2, <C=60°. AB=?
по теореме косинусов:
AB²=AC²+BC²-2*AC*Bc*cos<C
AB²=1²+2²-2*1*2*cos60°
AB²=3,  AB=√3

прямоугольный треугольник:
гипотенуза с=√13 - боковое ребро пирамиды
катет а=√3 радиус описанной около треугольника окружности
катет Н -высота пирамиды, найти по теореме Пифагора:
c²=a²+H², H²=(√13)²-(√3)². H=√10