Утрапеції abcd (ad ii bc) бісектриса кута abc перетинає середню лінію в точці p. доведіть, що кут apb = 90 градусів.

В трапеции ABCD (AD II BC) биссектриса угла ABC пересекает среднюю линию в точке P. Докажите, что угол APB = 90 градусов. 
--
Биссектриса делит угол АВС пополам.
Пусть она пересекает АД в точке К. 
Угол СВК равен углу ВКА как накрестлежащий.  Но СВК=АВК по условию ⇒ углы пи ВК равны, и треугольник ВАК - равнобедренный.  
Средняя линия трапеции является и средней линией треугольника АВК и  делит стороны пополам. 
ВР=РК.⇒ АР - медиана треугольника ВАК.
Так как в равнобедренном треугольнике медиана является и биссектрисой, и высотой, АР - выстоа, перпендикулярна ВК и угол АРВ=90º

Угол BAE равен EAD (AE - биссектриса BAD)
BD параллельна AD (прямоугольник является параллелограммом по условию)
угол BEA равен EAD (смежные углы при пересечении параллельных прямых общей секущей прямой AE)
Следовательно углы BAE и BEA равны и треугольник BAE - равнобедренный, т.е.
|AB| = |EB|

Периметр параллелограмма равен
P = |AB| + |BC| + |CD| + |DA| = 2 * (|AB| + |BC|) =
= 2 * (|BE| + |BC|) = 2 * (|BE| + |BE| + |EC|) =
= 4 * |BE| + 2 * |EC|

По условию, биссектриса делит сторону на отрезки 12 и 7 см.
Если |BE| = 7 см, то периметр P = 4*7 + 2*12 = 52
Если |BE| = 12 см, то периметр P = 4*12 + 2*4 = 56

Пусть ABCD – данный параллелограмм. Если он не является прямоугольником, то один из его углов A или B острый. Пусть для определенности A острый. 
Опустим перпендикуляр AE из вершины A на прямую CB. Площадь трапеции AECD равна сумме площадей параллелограмма ABCD и треугольника AEB. Опустим перпендикуляр DF из вершины D на прямую CD. Тогда площадь трапеции AECD равна сумме площадей прямоугольника AEFD и треугольника DFC. Прямоугольные треугольники AEB и DFC равны, а значит, имеют равные площади. Отсюда следует, что площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника AEFD, т.е. равна AE • AD. Отрезок AE – высота параллелограмма, соответствующая стороне AD, и, следовательно, S = a • h. Теорема доказана.