Впрямоугольном треугольнике один из острых углов равен 60 градусов, а прилежащий к нему катет равен 12 см.найдите длины отрезков на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу. , и расскажите как решали,

Дано: Треугольник ABC, угол А прямой, угол В=60°АВ=12см,АН-высота, найти отрезки ВН и НС. Решение: 1 угол C=30º(90º-60°=30º) т.е. ВС = 2 АВ,=24см. Рассмотрим треугольник АВН, угол BAH=30º(90º-60°=30º). BH = 1/2 ВА= 6см, если ВН=6, то НС= 24см-6см=18см. ответ: ВН=6см.НС=18см.

Площадь прямоугольника-s= a*b докажем, что  s = ab.

достроим прямоугольник до квадрата со стороной  a + b, как показано на рисунке 1.

так как  площадь квадрата равна квадрату его стороны, то площадь этого квадрата равна (a + b)2.с другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью s, равного ему прямоугольника с площадью s  (так как, по свойству площадей, равные многоугольники имеют равные площади)  и двух квадратов с площадями a2  и b2.  так как четырехугольник составлен из нескольких четырехугольников, то, по свойству площадей, его площадь равна сумме площадей этих четырехугольников: (a + b)2  = s + s + a2  + b2, или  a2  + 2ab + b2  = 2s + a2  + b2.отсюда получаем:   s = ab, что и требовалось доказать.

1) Концы отрезка, который не пересекает плоскость, отдалены от нее на 3 см и 8 см. Проекция отрезка на плоскость равна 12 см. Найти длину отрезка. 

-----

Обозначим отрезок АВ. Расстоянием от точки до плоскости является длина отрезка, проведенного к ней перпендикулярно. 

АА1 и ВВ1 перпендикулярны плоскости, следовательно, перпендикулярны В1А1. 

АА1║ВВ1, 

АВВ1А1 - прямоугольная трапеция. 

ВВ1=3 см.АА1=8 см,

ВС║В1А1 ⇒ А1С=ВВ1=3 см, АС=8-3=5 см. 

ВС=В1А1=12 см. 

Катеты прямоугольного ∆ АВС относятся как 5:12 - треугольник из Пифагоровых троек, ⇒гипотенуза АВ=13 см. 

                    * * *

2) Из точки, которая находится на расстоянии 6 см от плоскости, проведены две наклонные. Найти расстояние между основаниями наклонных, если угол между каждой наклонной и ее проекцией равен 30°, а угол между проекциями наклонных 120°. 

-------

Наклонные АВ и АС,  расстояние до плоскости АН=6 см,  ∠АВН=∠АСН=30°

ВН=СН=АН:tg30°=6√3

∆АНС равнобедренный, угол ВНС=120° ( дано). 

Проведем высоту НМ к основанию ВС. Высота в равнобедренном треугольнике - биссектриса и медиана. ⇒ ∆ ВНМ=∆ СНМ, ∠ВНМ=СНМ=60°

ВМ=ВН•sin60°=6√3•√3/2=9 

BC=2•BМ=18 см (по т.косинусов ВС также равно 18 см)

                     * * * 

3) Из вершины А прямоугольника АВСD со сторонами 7 см и 14 см к его плоскости проведен перпендикуляр АМ=7 см. Найти расстояние от точки М до прямых DС и DB.

--------

Примем АВ=14 см, АD=7 см. Расстояние от точки до прямой измеряется длиной отрезка, проведенного перпендикулярно от точки до прямой. По т. о 3-х перпендикулярах МD пп DC, МВ пп ВС.

В прямоугольном ∆ MAD катеты равны, следовательно, он равнобедренный с острыми углами, равными 45°. 

MD=AD:sin45°=7√2.

Из прямоугольного ∆ МАВ расстояние МВ=√(AB²+AM²)=√(196+49)=7√5 см

Расстояние от М до BD отрезок МН, перпендикулярный диагонали ABCD.

По т. о 3-х перпендикулярах МН⊥DB,⇒ его проекция АН⊥DB.

АН=AD•AB:BD

∆ ADB=∆ MAB по двум катетам,⇒ DB=MB=7√5

AH=7•14:7√5=14/√5

MH=√(AM²+AH²)=√(441/5)=21/√5=4,2√5 или ≈ 9,39 см