Сторона ромба равна 4 см, острый угол равен 30 градусов.найти радиус вписанной окружности.

Площадь ромба равна s=a²sinα=4²·sin30=16·1/2=8, эту же площадь можно вычислить по другому  s=pr, где р-периметр ромба  p=4·4=16, 16r=8, r=8/16=1/2

1. sabc - пирамида, ав = вс = √5, ас = 4.

пусть so - высота пирамиды, тогда ао, во и со - проекции боковых ребер на плоскость основания, а углы sao, sbo и sco - углы наклона боковых ребер к основанию и равны 45°. тогда δsao = δsbo = δsco по катету (общий so) и острому углу.

значит ао = во = со, значит о - центр описанной около авс окружности.

стоит запомнить: если боковые ребра пирамиды равны или наклонены под одним углом к основанию, то высота проецируется в центр окружности, описанной около основания.

так как треугольник авс равнобедренный, о лежит на высоте вн, проведенной к основанию. вн является и медианой: ан = 2.

δавн: ∠анв = 90°, по теореме пифагора

вн = √(ав² - ан²) = √(5 - 4) = 1, ⇒

sin∠bah = bh / ab = 1/√5

по следствию из теоремы синусов:

2r = bc / sin∠bah = √5 / (1/√5) = 5

r = 5/2 = 2,5, т.е. во = 2,5

δsbo прямоугольный с углом 45°, значит равнобедренный:

so = bo = 2,5

v = 1/3 sосн · so = 1/3 · (1/2 ac · bh) · so

v = 1/3 · 1/2 · 4 · 1 · 2,5 = 5/3 куб. ед.

так как во больше вн, центр описанной около треугольника авс окружности лежит вне треугольника. чертеж пришлось уточнить.

2. если боковые ребра пирамиды равны, то высота проецируется в центр окружности, описанной около основания. о лежит на высоте δавс, так как он равнобедренный.

вн - высота и медиана, ⇒ ан = сн = ав/2 = 3 см.

δавн: ∠анв = 90°, по теореме пифагора

ав = √(вн² + ан²) = √(81 + 9) = √90 = 3√10 см.

sin∠bah = bh/ab = 9/(3√10) = 3/√10

по следствию из теоремы синусов:

2r = bc / sin∠bah = 3√10 / (3/√10) = 10

r = 10/2 = 5 см, т.е. во = 5 см

δsob: ∠sob = 90°, по теореме пифагора

so = √(sb² - bo²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см

v = 1/3 sосн · so = 1/3 · (1/2 ac · bh) · so

v = 1/3 · 1/2 · 6 · 9 · 12 = 108 см³

Относительно: 1)начала координат:

А(0; 1)       А1 (0; -1)

В(2; 1)       В1(-2; -1)

С(-2; 3)      С1(2; -3)

2) оси Ох:

А(0; 1)        А1 (0; -1)

В(2; 1)        В1(2; -1)

С(-2; 3)       С1(-2; -3)

3) оси Оу.:

А(0; 1)       А1 (0; 1)

В(2; 1)       В1(-2; 1)

С(-2; 3)      С1(2; 3)

А(2;1), B(5;4), C(11;-2), D(8;-5).1)Определите координаты центра симметрии.

Центр симметрии находится на середине диагонали, например, АС,:

О((2+11)/2=6,5; (1+(-2))/2=-0,5) = (6,5; -0,5)

2) Уравнение осей симметрии этого прямоугольника:

Оси параллельны сторонам и проходят через центр симметрии.

Уравнение прямой АВ:

.

Выразим относительно у:

.

В уравнении оси коэффициент при х равен коэффициенту прямой АВ и равен 1.

Уравнение оси имеет вид у = х + в.

Для нахождения параметра в поставим координаты центра в полученное уравнение: -0,5 = 6,5 + в.

Отсюда в = -0,5 - 6,5 = -7.

Получаем уравнение оси симметрии, параллельной стороне АВ:  у = х - 7.

Уравнение прямой ВС:

В уравнении оси коэффициент при х равен коэффициенту прямой DC и равен -1.

Уравнение оси имеет вид у = -х + в.

Для нахождения параметра в поставим координаты центра в полученное уравнение: -0,5 = 6,5*(-1) + в.

Отсюда в = -0,5 + 6,5 =6.

Получаем уравнение оси симметрии, параллельной стороне АВ:  у = -х + 6.

Объяснение: