Впараллелограмме аbcd диагонали ac=4 bd=6 cos угла aod=1/3 найти сторону ad

od=1/2bd=3

ao=1/2ac=2 (т.к. диагонали параллелограма точкой пересечения делятся пополам)

рассмотрим треугольник aod:

по теореме косинусов ad^2=ao^2+do^2-2*ao*do*cosaod

отсюда следует, что ad^2=9

ad=3 

Дано: ∆ abc, ∠c=90º, окружность (o, r) — вписанная, k, m, f — точки касания со сторонами ac, ab, bc, bm=4 см, am=6 см. найти: \[{p_{\delta abc,}}{s_{\delta abc}},r.\] решение: 1) по свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки, окружность, вписанная к прямоугольный треугольникak=am=6 см, bf=bm=4 см, ck=cf=x см. 2) ab=am+bm=6+4=10 см, ac=ak+ck=(6+x) см, bc=bf+cf=(4+x) см. 3) по теореме пифагора: \[a{c^2} + b{c^2} = a{b^2}\] \[{(6 + x)^2} + {(4 + x)^2} = {10^2}\] \[36 + 12x + {x^2} + 16 + 8x + {x^2} = 100\] \[2{x^2} + 20x - 48 = 0\] \[{x^2} + 10x - 24 = 0\] по теореме виета, \[{x_1} = 2,{x_2} = - 12.\] второй корень не подходит по смыслу . значит, ck+cf=2 см, ac=8 см, bc=6 см. 4) \[{p_{\delta abc}} = ab + ac + bc,\] \[{p_{\delta abc}} = 10 + 8 + 6 = 24(cm),\] \[{s_{\delta abc}} = \frac{1}{2}ac \cdot bc,\] \[{s_{\delta abc}} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24(c{m^2}),\] \[r = \frac{{ac + bc - ab}}{2},\] \[r = \frac{{8 + 6 - 10}}{2} = 2(cm).\] ответ: 24 см, 24 см², 2 с

Два равнобедренных треугольника имеют равные угла при основаниях. основание и боковая сторона первого треугольника относится как 6: 5. найдите стороны второго треугольника, если его периметр равен 48 см. решение : два равнобедренных треугольника имеют равные углы при основаниях, что означает, что эти треугольники подобны по 1 признаку подобия. ввиду того, что треугольники подобны, и основание, и боковая сторона первого треугольника относится как 6: 5 , следовательно основание и боковая второго треугольника полностью соответствует первому треугольнику . пусть боковая сторона второго равна 5х, основание равно 6х, составим уравнение : 5х+5х+6х=48 16х=48 х=48: 16 х=3 5х=5*9=15 ( боковые стороны) 6х=6*3=18 (основание) ответ : 15см и 18 см.