Найти объем правильной треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны 8, и наклонены к плоскости основания под углом 60 градусов.

Дано: MABC- правильная пирамида, МА=МВ=МС=8, <MAO=<MBO=<MCO=60° (О- точка пересечерия медиан, биссектрис. высот ΔАВС)
найти:V

решение.

площадь правильного треугольника
по условию пирамида правильная, => высота пирамиды проектируется в центр треугольника - точка пересечения медиан, биссектрис, высот, которые в точке пересечение делятся в отношении 2:3 считая от вершины
высота правильного треугольника вычисляется по формуле:



ΔAMO: AM=8, <MAO=60°, =>  <AMO=30°
AO=AM/2 катет против угла 30° в 2 раза меньше гипотенузы.
АО=4
OM²=AM²-AO², OM²=8²-4², OM=4√3

Дано:                                              Решение:
BC:AC:AB=2:6:7                          ВС=2х,  АС=6х,  АВ=7х
AB=BC+25 (см)                           Так как: АВ=ВС+25
                             7х = 2х+25
Найти: Р=?                                                5х = 25 
                                                                    х = 5
                                              ВС=2х=10 (см), АС=6х=30(см), АВ=7х=35 (см)
                                              Р = 10+30+35 = 75 (см)

ответ: 75 см   

1. Задача 1. решена пользователем
ХироХамаки Новичок
(решение в файле)

2. Условие задачи 2. неточное. Должно быть:
Основание АС равнобедренного треугольника лежит в плоскости α. Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если АВ = 5, АС = 6, а двугранный угол между плоскостью треугольника и плоскостью α равен 60 градусам.

Проведем ВН⊥АС и ВО⊥α.
ВО - искомое расстояние.
ОН - проекция ВН на плоскость α, значит ОН⊥АС по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.
∠ВНО = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника.
АН = НС = 6/2 = 3 (ВН - высота и медиана равнобедренного треугольника)
ΔАВН: по теореме Пифагора
             ВН = √(АВ² - АН²) = √(25 - 9) = √16 = 4
ΔВНО:  ВО = ВН · sin 60° = 4 · √3/2 = 2√3

3. АО⊥α, ОВ и ОС - проекции наклонных АВ и АС на плоскость α, тогда
∠АВО = ∠АСО = 60°.
ΔАВО = ΔАСО по катету и противолежащему острому углу (АО - общий катет и ∠АВО = ∠АСО = 60°), значит
АВ = АС = 6.