Какое наименьшее число лучей может выходить из одной точки, чтобы все углы, образованные соседними лучами, были острыми?

Неограниченное количество

См. приложение (рисунок)
Дано:
параллелограмм ABCD   (AD || BC ; AB | | DC)  ; 
∠ABC  > 90° ; 
BH₁ ⊥ AD ;  BH₁ =h₁ = 3 см  ;
BH₂ ⊥ CD ;  BH₂ =h₂ = 4 см  ;
∠H₁BH₂  = 45°.
-----------------
S = S(ABCD)  - ?

S = CD*BH₂ = AB*BH₂ = AB*h₂.  Нужно найти AB.
∠A  = ∠H₁BH₂  =45°(равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами : BH₁ ⊥ AD  и  BH₂ ⊥  AB , т.к.  AB | | CD ).
Значит  прямоугольный  ΔAH₁B равнобедренный: AH₁  = BH₁= 3 см и
AB =√2 * BH₁=√2 *h₁   ( теорема  Пифагора _AB² = AH₁² + BH₁² =2*BH₁²).  
Следовательно :
S = AB*h₂  =√2 *h₁* h₂ =√2 *3 см* 4 см  =12√2 см² . 

ответ :   12√2 см² . 

1) 8,5 - 3,5 = 5(км) - один катет прямоугольного треугольника
2) 12 км - второй катет прямоугольного треугольника
3) Находим гипотенузу - это расстояние от яхты до места старта, по теореме Пифагора:
х^2 = 5^2 + 12^2
x^2 = 25 + 144
x^2 = 169
x = 13
ответ: на расстоянии 13 км находится яхта от места старта.

Схема к задаче:
        М.старта                                                  Вниз - на юг 8,5км, потом
                                                                          на восток - 12км, потом на север -
             I                                                                                                       3,5км
             I 8,5км
             I _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  _ _ _ _ Яхта
             I                                                   I
             I12кмI  3,5 км

Соедини две верхние точки, получишь наверху прямоугольный треугольник, вот о нём мы я и расписала, как найти расстояние.