Из некоторой точки к данной плоскости, проведены перпендикуляр и наклонная. найти длину наклонной и её проекции на данную плоскость, если длина перпендикуляра равна 4 см, а угол между перпендикуляром и наклонной равен 30(градусов)

Если все нарисовать, получим прямоугольный треугольник, где наклонная (АС)- гипотенуза, перпендикуляр (АВ) - катет1, проекция (ВС) - катет2
АС=АВ/sin(BAC)=4*2/√3≈4.62
BC=АВ*tg(BAC)=4/√3≈2.31

найдем координаты середины диагоналей четырехугольника ABCD:

 

середина диагонали АС

x=(0+5)/2=2.5

y=(1+1)/2=1

(2.5;1)

 

середина диагонали BD

x=(4+1)/2=2.5

y=(3+(-1))/2=1

(2.5;1)

 

таким образом диагонали четырехугольника пересекаются в точке, что делит их пополам, поэтому за признаком парарлелограмма четырехугольник АВСD - парареллограм

 

найдем длины диагоналей

AC=((5-0)^2+(1-1)^2)=5

BD=((4-1)^2+(-1-3)^2)=5

 

диагонали параллелограма ABCD равны АC=BD, за признаком прямоугольника ABCD- прямоугольник. Доказано

Проведём плоскость перпендикулярную плоскости ромба через центр сферы. На ней след плоскости ромба будет хордой окружности радиуса R, где R=10-радиус сферы. Для ромба хорда является диаметром вписанной окружности равным 2r. Проведём  из центра сферы радиус в точку  касания хорды, и перпендикуляр к хорде h=8. Тогда по теореме Пифагора r=корень из(R квадрат -h квадрат)=корень из(100-64)=6. По известным формулам площадь ромба равна S=4( r квадрат)/sin 150= 4* 36*/0,5=288.  Площадь также можно выразить через радиус вписанной окружности S=2а*r. Отсюда сторона ромба а=S/2r=288/2*6=24. Периметр=96.