Угол вас =углу acd , ав=сd .докажите , что треугольник abc =треугольнику cda .

1. т.к. угол вас =углу acd ,ав=сd  то из этого следует, что ав//cd

2. из 1 следует, что авсd-параллелограмм

3. т.к. это параллелограмм, то треугольник авс= треугольнику асd по стороне и двум углам

 

▪рассмотрим δ abc - осевое сечение данного конуса ( равнобедренный треугольник ) , тогда точка o - центр вписанного шара , точка н - центр основания конуса, он = om = on = r , ah = hc = r , ∠а = а - искомый угол между образующей и основанием конуса. ▪точка о является центром вписанной окружности в δ авс ⇒   точка о - точка пересечения биссектрис   ⇒   ∠вао = ∠нао = а/2 ▪в   δahb:   bh = ah•tga = r•tga     b   δhao:   oh = ah•tg(a/2) = r•tg(a/2) ▪ vконуса   = ( п•ah²•bh )/3 = ( пr²•r•tga )/3 = ( пr³tga )/3     vшара = ( 4п•он³ )/3 = (   4п•r³•tg³(a/2)   )/3 ▪ vконуса / vшара = tga / 4tg³(a/2)   ;     tga = 2tg(a/2) /   1 - tg²(a/2)   ⇒   vконуса / vшара = 2tg(a/2) /   4tg³(a/2)•( 1 - tg²(a/2)   )   = 1 / 2tg²(a/2) - 2tg⁴(a/2)   = k   2k•tg⁴(a/2) - 2k•tg²(a/2) + 1 = 0   d = ( 2k )² - 4•2k = 4k² - 8k = 4•( k² - 2k )   4•( k² - 2k ) ≥ 0   ⇒   k ≥ 2   tg²(a/2) = ( 2k +- 2√(k² - 2k) )/4k = ( k +- √(k² - 2k) )/ 2k   ⇒   k = 9/4   ⇒   tg₁²(a/2) = 2/3   ⇒   tg(a/2) = √(2/3) ≈ 0,82   tg₂²(a/2) = 1/3   ⇒   tg(a/2) = √(1/3) ≈ 0,58 из условия следует, что tg(a/2) = r / r   < 0,6   ⇒   tg(a/2) = √3/3   ⇒   a/2 = п/6   ⇒   а = п/3 = 60° δавс - равносторонний ,   ab = bc = ac   ⇒   l = 2r = d ,   r = √3r/3 ответ: 60°

проведем высоту вн. δавн - прямоугольный, ∠а=60°, тогда ∠авн=30°, а ан=1\2 ав=3.

из δавн найдем вн

вн=√(ав²-ан²)=√(36-9)=√27.

если основание ад=10, то вс=10: 5=2.

проведем высоту ск=вн=√27.

нк=вс=2.   ак=ан+кн=3+2=5;   кд=ад=ак=10-5=5.

найдем ас из δаск.   ас²=ак²+ск²=25+27=52.   ас=√52=2√13.

найдем вд из δвдн, где дн=кн+кд=2+5=7.   вд²=вн²+дн²=27+49=76. вд=√76=2√19.

найдем ∠сод по формуле площади трапеции

s=1\2 d₁*d₂*sinα

найдем площадь по формуле s=1\2 (ад+вс)*вн=1\2 * (10+2) * √27 = 18√3.

18√3=1\2 * 2√13 * 2√19 * sin∠сод

18√3=2√247 * sin∠сод

sin∠сод=15,6\15,7=0,9936

∠сод=84°

ответ: 2√13 ед.; 2√19 ед; 84°