Расстояния от точки пересечения диагоналей ромба до его вершин равны 8 см и 6 см. какова длина каждой диагонали?

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.
ответ: 16 см и 12 см

Обозначим данный треугольник буквами ABC, одну из его биссектрис - AM, остальные биссектрисы - BH и CK.
Данный треугольник также является равнобедренным. По свойству биссектрисы, проведенной из вершины равнобедренного треугольника, AM также будет являться его высотой и медианой. Значит, так как сторона BC также равна 14 корней из 3, то BM =(14 корней из 3)/2 = (14 и 2 сокращаются) 7 корней из 3.
Так как угол ABM = 90 градусам, то по теореме Пифагора AB^2 = AM^2 + BM^2; 588 = AM^2 + 147; AM^2 = 588-147; AM^2 = 441; AM = 21.
 Биссектрисы равностороннего треугольника равны, значит, AM =  BH = CK.
ответ: 21;21;21.

65. Расстояние от середины отрезка АВ до прямой а является средней линией трапеции, боковыми сторонами которой являются отрезок АВ и отрезок прямой а,
а  основаниями - отрезки перпендикуляров АС и ВД к прямой а, которые по условию задачи равны 10 м и 20 м. Поэтому искомое расстояние находим как среднюю линию трапеции:
L=(10+20):2=30:2=15 (м)
ответ: 15 м

67. Пусть АД и ВС - основания трапеции АВСД и ВС<АД, 
       по условию ВС:АД=2:3, значит ВС=2х, АД=3х
       также, по условию, средняя линия трапеции равна 5 м,
       следовательно, (2х+3х):2=5
                                    5х=5*2
                                    5х=10
                                    х=2
      ВС=2х=2*2=4(м)
      АД=3х=3*2=6(м)
      ответ: 4 м и 6 м