Вугол вписана окружность с радиусом 6 см. расстояние от её центра до вершины угла равно 30 см. найдите радиус меньшей окружности, которая касается сторон угла и данной й окружности. !

В угол вписана окружность с радиусом 6 см. Расстояние от её центра до вершины угла равно 30 см. Найдите радиус меньшей окружности, которая касается сторон угла и данной й окружности.
-------
Пусть центр данной окружности будет О, точка её касания с верхней стороной угла В.
 Пусть центр меньшей окружности будет С, точка касания окружностей друг с другом - М
Соединим центр О большей окружности с точкой касания. 
Проведем СК ⊥ ВО. 
СО=r+6 
КО=6-r 
Из подобия треугольников АОВ и СОК (прямоугольные с общим острым углом)  следует отношение 
АО:СО=ВО:КО 
30:(6+r)=6:(6-r) 
36+6r=180-30r 
36r=144 
r=144:36 
r=4 cм

1) В равнобедренном треугольнике АВС длина основания АС равна 24, а cosC = 0,6. Найдите площадь треугольника ABC.
SinC=√(1-CosC) или SinC=√(1-0,36)=0,8.
В равнобедренном треугольнике АВС высота ВН является и медианой.
CosC=НС/BC, отсюда ВС=НС/CosC или ВС=12/0,6=20.
Sabc=(1/2)*AC*BC*SinC или Sabc=(1/2)*24*20*0,8=192 ед².

2) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС сторона АВ равна 50, а sinС = 0,96. Найдите площадь треугольника АВС.
АВ=ВС (стороны равнобедренного треугольника
SinC=BH/ВС, отсюда ВН=ВС*SinC или ВН=50*0,96=48.
По Пифагору НС=√(ВС²-ВН²)=√(50²-48²)=14. АС=2*НС = 28.
Sabc=(1/2)*AC*BH = (1/2)*28*48=672 ед².

Дан ΔАВС. Периметр Р(АВС)=14 см.
Продолжим сторону АС треугольника АВС за точки А и С , 
получим прямую ДЕ.
Проведём биссектрису АК угла ВАД, а также биссектрису СМ угла ВСЕ.
ВК⊥АК  и  ВМ⊥СМ
Продолжим высоты ВК и ВМ до пересечения с ДЕ. На ДЕ получим
точки Д и Е.
Так как АК и СМ - биссектрисы и высоты одновременно в ΔАВД и ΔВСЕ, то эти треугольники равнобедренные ⇒ 
АВ=АД  и  ВС=СЕ.
Высоты АК и СМ в равнобедренных треугольниках АВД и ВСЕ являются ещё и медианами , значит точка К - середина ВД, а точка М - середина ВЕ.
Рассм. ΔВЕД: КМ - средняя линия ΔВЕД.
ДЕ=ДА+АС+СЕ=АВ+АС+ВС=Р(АВС)=14 см
Средняя линия треугольника равна половине стороны, параллельно которой  она проходит, то есть 
КМ=1/2*ДЕ=1/2*14=7 см.