Основи трапеції дорівнюють 5 і 15, а діагоналі – 12 і 16. знайти площу трапеції.

< acb = 90° ; < cap =< bap ; < cbq=< abq ; am=mp ; bn =nq (  m ∈[ap] ,n∈[pq]). < cmp  +  < cnq = 90°   --> ? . δacp  прямоугольный   треугольник :   < acp=90°   и  cm     медиана проведенная из вершины    прямого угла , поэтому   cm =ap/2 =am ,   т.е.      δamc равнобедренный  ⇒   < mca =< mac =< a  /2. < cmp =   < mca +< mac || как внешний угол    δamc  ||  =2< mac =< a.  аналогично  прямоугольный и  δbcq  и    cn  медиана проведенная из вершины    прямого угла  bcq ; cn =bq/2 =bn   ; < cnq =< ncb+< nbc=2< nbc =< b . следовательно : < cmp  +  < cnq = < a +< b =90°.

Пусть радиусы   вписанных окружностей   r₁  и r₂,    радиус полукруга  r,    его  центр o,  а  точки касания c диаметром  a и  b   и пусть   r=  3r₁. ab =ao +  bo ;   * * *   ab  =√((r₁+r₂)² -(r₁-r₂)²) =  2√r₁r₂  * * * 2√r₁r₂ =√((r -r₁)² -  r₁²) +√((r -r₂)² -  r₂²) ; 2√r₁r₂ =√((3r₁  -r₁)² -  r₁²) +√((3r₁  -r₂)² -  r₂²) ; 2√r₁r₂ =r₁√3 +√(9r₁²  -6r₁r₂) ; 2r₁√ r₂/r₁ =  r₁√3  + r₁√3√(3 -2r₂/r₁) ;     2√ r₂/r₁ = √3  + √3√(3 -2r₂/r₁)       * *  *  проводим    замену      r₂/r₁ =x * *  * 2√x =√3( 1+ √(3 -2x))  ; 4x =3(1 +2√(3 -2x)+3 - 2x) ; 5x -6 = 3√(3-2x)   ;         * * *       1,2≤x  ≤1,5 * * * 25x² - 60x +36 =27 -18x ; 25x² -42x  +9 =0 ; x =(21 -6√6)/25≈0,25   не решение     x  ∉ [1,2 ; 1,5 ] . x =(21 +6√6)/25≈1,43. ответ  :   (21 +6√6)/25  ≈1,43  . стоит проверить арифметику