Даны прямая а и точка к, которая не лежит на этой прямой. через точку к проведены прямые m и l, пересекающие прямую а. докажите, что прямые m и l лежат в одной плоскости.

аксиома : через прямую(а) и точку(к) можно провести только одну плоскость(пусть альфа)

далее 

прямая (m) проходит через точку к   т пересекает (а) - ну пусть точка м

тм принадлежат плоскости (альфа), т к принадлежит прямой (а), котор. лежит в альфа

т.к. (m) проходит через две точки, принадлежащие   плоскости альфа, значит она лежит 

в плоскости альфа

далее

прямая (l) - аналогичное доказательство, как для (m)

cледовательно ,    прямые m и l лежат в одной плоскости.

доказано.

 

я уже решал тут такую , не могу вспомнить номер. 

условие неоднозначно, ответ зависит от того, какой именно катет пересекает заданный перпендикуляр. однако в любом случае, поскольку окружность касается трех сторон треугольника, то это - вписанная окружность.

далее, я не стану каждый раз объяснять, почему отрезки касательных из одной точки до точек касания равны, а буду сразу использовать это, не поясняя (! - нарисуйте чертеж). кроме того, если касательная параллельна радиусу, то расстояние от любой точки этого радиуса до этой (параллельной ему) касательной тоже равно радиусу. тоже не буду объяснять, а сразу пользоваться.

 

обозначим х - некая мера измерения сторон прямоугольного треугольника, так что катеты будут 7*х и 24*х, отсюда сразу гипотенуза 25*х, радиус вписанной окружности r = (a + b - c)/2 = 3*x, отрезки, на которые точка касания делит гипотенузу - 4*x и 21*x.

перпендикуляр к гипотенузе, касательный к вписанной окружности, можно провес   ти 2 способами. 

1). пусть заданный перпендикуляр пересекает малый катет.

тогда его основание отстоит от вершины гипотенузы, общей с малым катетом, на

4*х - 3*х = х;

отсеченный треугольник с катетами x и m=14 подобен исходному, то есть

x/m = 7/24; х = 49/12; r = 49/4;

2).  пусть заданный перпендикуляр пересекает большой катет.

тогда его основание отстоит от вершины гипотенузы, общей с большим катетом, на

21*х - 3*х = 18*х; (еще раз скажу - я уже объяснил раньше, почему это так! рисуйте чертеж.)

отсеченный треугольник с катетами 18*x и m=14 подобен исходному, то есть

18*x/m = 24/7; х = 8/3; r = 8;

 

Центр вписанной в треугольник окружности - точка пересечения биссектрис его углов. центр описанной окружности - точка пересечения срединных перпендикуляров.  в правильном треугольнике биссектрисы, медианы и срединные перпендикуляры . центры описанной и вписанной окружности также и лежат в точке пересечения медиан.  r: r= 2: 1, считая от вершины (свойство медиан).  радиус r вписанной в правильный треугольник окружности ( значит, и круга) равен 1/3 его высоты. радиус r описанной вокруг правильного треугольника окружности равен 2/3 его высоты.  ⇒r=2r πr²=16π⇒r=4 r=2•4=8 πr²=π•8²= 64π см²