Через точку о, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. прямая l пересекает плоскости α и β в точках а1 и а2 соответственно, прямая m – в точках в1 и в2. найдите длину отрезка а2в2, если а1в1 = 12 см, в1о : ов2 = 3 : 4.

Через
точку О, лежащую между параллельными плоскостями α
и β, проведены прямые l и m.   Прямая l  пересекает плоскости α
и β в точках А1 и А2
соответственно, прямая m – в точках В1 и В2.
Найдите длину отрезка  А2В2,
 если  А1В1 = 12 см,    В1О
: ОВ2 = 3 : 4.

Обозначим катеты а и b.
По теореме Пифагора
a²+b²=16²

S=a·b/2

Решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными
a²+b²=256
a·b=64√2    ⇒   b=64√2/a

a²+(64√2/a)²=256
a⁴-256a²+8192=0
D=256²-4·8192=65536-32768=32768=(128√2)²

a²=(256-(128√2))/2=128-64√2  или   а²=(256+(128√2))/2=128+64√2
a₁=√(128-64√2)=8·√ (2-√2)    или     a₂=8·√(2+√2)

b₁=64·√2/8√(2-√2) =8·√2·√(2+√2)/ √(2-√2)√(2+√2)=
 =8√2·√(2+√2)/√(2²-(√2)²)=
 =8√2·√(2+√2)/√2= 8·√(2+√2)

b₂=64√2/8√(2+√2) =8√2·√(2-√2)/ √(2-√2)√(2+√2)=
 =8√2·√(2-√2)/√(2²-(√2)²)=
 =8√2·√(2-√2)/√2= 8·√(2-√2)

tgα=a₁/b₁=8·√(2-√2)/8·√(2+√2) =√(2-√2)/√(2+√2)=
=√(2-√2)√(2-√2)/√(2+√2)√(2-√2)=
=√(6-4√2)/√2=√(3√2-4)
или
tgα=a₂/b₂=8·√(2+√2)/8·√(2-√2) =√(2+√2)/√(2-√2)=
=√(2+√2)√(2+√2)/√(2+√2)√(2-√2)=
=√(6+4√2)/√2=√(3√2+4)

На рисунке черным нарисован правильный восьмиугольник)
а красным получающийся четырехугольник
этот 4угольник будет правильным, т.к. все углы у него будут по 90 градусов.
чтобы это доказать смотри на треугольник АВС
угол, который совпадает с углом восьмиугольника, т.е. ВАС = 135 градусов.
это как дано, потому что у правильного 8миугольника все углы равны по 135 градусов.
в треугольнике осталось два неизвестных угла. Они будут равны и в сумме дадут 180-135=45 градусов.
в принципе этого уже достаточно

потому что каждая пара таких маленьких углов, как у этого треугольника, дает в сумме 45 градусов

получается, что каждый угол четырехугольника равен 90, а значит он правильный