Впараллелограме abcd со стороной ad=25, проведена биссектриса угла a проходящая через точку p на стороне bc найдите пириметр трапеции apcd если его средняя линия =15, а диагональ ac=5√ 46

В трапеции АРСD    средняя линия равна полусумме оснований.
Значит, РС+AD=2·15
РС+25=30
РС=5 

ВС=ВР+РС
25=ВР+5
ВР=25-5=20

∠PAD=∠BPA  - внутренние накрест лежащие при параллельных ВС и AD и секущей АР.
∠ВАР=∠РАD - биссектриса АР делит угол А пополам.

Значит ∠BPA  =∠ВАР  и треугольник АВР - равнобедренный АВ=ВР=20

Противоположные стороны параллелограмма равны   CD=AB=20

Из треугольника АСD  по теореме косинусов:
АС²=AD²+DC²-2·AD·DC·cos ∠D    
(5√46)²=25²+20²-2·25·20·cos ∠D 
1150=625+400-1000·cos ∠D 

cos ∠D =-0,125

Противоположные углы параллелограмма равны
∠В=∠D

Из треугольника АBP по теореме косинусов:
АP²=AB²+BP²-2·AB·BP·cos ∠B
АP²=20²+20²-2·20·20·(-0,125)

АP²=400+400+100

АP²=900
AP=30

Р( трапеции АРСD)= АР+РС+СD+AD=30+5+20+25=80 


ответ. Р=80

AB=BC ; AC =4√2 ; MB =MC ; AM =5 .

S=S(ABC) - ?

обозн.   <AMB =α .
Из треугольника  AMB по теореме косинусов:
AB² =  AM² +MB² -2AM*MB*cosα  (  1) ;
аналогично из ΔAMB: 
AC² =AM² +MC² -2AM*MC*cos(180° -α )  ⇔ 
AC² =AM² +MC² +2AM*MC*cosα    (2) ;
складывая   (1) и (2)  получаем :
AB²+.AC² =2AM² + 2MB² ⇔  AB²+.AC² =2AM² + 2(BC/2)²⇒4AM²=2(AB²+.AC²) -BC² ;

AM =(1/2)*√(2(AB²+.AC²) -BC² ) .  Эту известную формулу для вычисления медианы можно было применить сразу .
5 =(1/2) *√(2(AB² +(4√2)²) - AB²)⇔4*25 =AB² +64 ⇒AB =BC=6 .
Зная стороны треугольника можно вычислить ее площадь .
здесь удобно  S = 2S(ABM) =2√7*1*4*2 =4√14  (прим формула Герона).

ответ : 4√14  кв. ед.

Это очень просто всё.
Для начала надо найти высоту BM к основанию AC. M - середина AC.
Ясно, что она "режет" треугольник на два "египетских" (со сторонами 9,12,15), то есть равна 12.
Эта высота к тому же медиана и биссектриса. Все точки в задаче лежат на ней.
1) поэтому от основания до точки пересечения медиан G будет
MG = 12/3 = 4;
точка пересечения биссектрис I находится так
BI/IM = AB/AM = 15/9; => MI = BM*9/(15 + 9) = 12*3/8 = 9/2;
отсюда
IG = MI - MG = 1/2;
2) тут есть множество решить. Мне нравится рассуждать так. Если продлить AM до пересечения с описанной окружностью в точке B1, то
AM*MC = BM*MB1; 9^2 = 12*MB1; MB1 = 27/4; BB1 = 12 + 27/4 = 75/4;
Это диаметр описанной окружности (центр O).  Радиус OB = 75/8;
Поэтому MO = 12 - 75/8 = (96 - 75)/8 = 21/8;

как-то так, проверяйте. Полезно помнить, что в остроугольных треугольниках отношение r/R близко к 2 (у равностороннего точно равно 2); в данном случае
r = 9/2; R = 75/8; r/R = 12/25;