Втреугольнике abc проведена биссектриса ал ал=лб а угол б равен 23 градуса. найти угол с.

конечно, высота пирамиды легко вычисляется "стандартным"  способом. проекцией ребра на основание служит половина диагонали квадрата в основании, которая равна, очевидно, корень(2)*корень(2)/2 = 1. вместе с высотой пирамиды эта проекция образует прямоугольный треугольник, гипотенузой которого служит боковое ребро, откуда высота тоже равна 1. откуда получается ответ - объем равен (корень(2))^2*1/3 = 2/3.

 

поскольку это половина окртаэдра, эту можно решить вот как (не надо пугаться, что это какой-то координатный метод, просто так наглядно : )) - расположим эту пирамиду в трехмерной системе координат следуюшим образом - пусть её вершины лежат в точках (1,0,0) (0,1,0) (-1,0,0) (0,-1,0) (0,0,1). не трудно убедится, что у такой пирамиды все ребра равны корень(2), поскольку именно такое расстояние между любой из этих точек и ближайшей к ней (ну, например, точка (1,0,0)  на оси x и точка (0,1,0)  на оси y - обе на расстоянии 1 от начала координат, а ребро пирамиды их соединяет, и также - все остальные). 

вот теперь сразу же очевидно, что высота пирамиды равна 1, и объем равен 2/3 (площадь основания очевидно равна 2).

 

на самом деле, есть интересная трехмерная фигура, которая получается, если выбрать в обычном кубе вершину и провести сечение через три вершины, соседние к ней. в сечении получится равносторонний треугольник (со строной корень(2), если ребро куба 1). объем такой пирамидки равен (1*1/2)*1/3 = 1/6 объема куба. а заданная в пирамида составлена из 4 таких фигур. а октаэдр - из 8 :

 

 

 

 

 

для начала я сделаю вид, что не заметил вот это "(2 под корнем)" и найду стороны треугольника по теореме синусов, считая заданным радиус описанной окружности r = 4 и угол при вершине 45 градусов.

2*r*sin(45) = a; (а - основание вс, b обозначим ав= ас - боковая сторона; h обозначим ah - это высота к основанию вс, н - середина вс);

a = 4*√2;

здесь есть неясность. проще всего вычислить b так

2*r*sin((180 - 45)/2) = 8*cos(45/2); (аргументы тригонометрических ф-ций -   углы в гардусах).

cos(45/2) = x; 2*x^2 - 1 = cos(45) =  √2/2; x =  √(2 +  √2)/2; b = 4*√(2 +  √2);

но если надо, я могу вычислить эту величину без "сложной" тригонометрии.

пусть о1 - центр описанной окружности. тогда совсем легко увидеть, что угол во1н = 45 градусов. поэтому о1н = вн = а/2 = 2*√2; ah = h = r + o1h = 4 + 2*√2;

отсюда b = √((a/2)^2 + h^2) =    4*√(2 +  √2);

хорда вм является биссектрисой угла в (раз проходит через центр вписанной в авс окружности),  то есть ам/ас = ав/(ав + вс) = b/(a + b);  

но ам/ас = sabm/sabc; (это совершенно очевидно, но вот "доказательство", если нужно - пусть h1 - расстояние от в до ас. тогда sabc = ac*h1/2; sabm = am*h1/2; ну, и поделить одно на другое);  

sabm = sabc*b/(a + b);

теперь вычисление площадей.

sabc = a*h/2 = 4*√2*(4 + 2*√2)/2 = 8*(√2 + 1);

sabm =  8*(√2 + 1)*4*√(2 +  √2)/(4*√(2 +  √2) +  4*√2); много

можно немного запись, пусть p =  √2 + 1; тогда.

sabm = 4*√2*p(p -  √p);