Дан выпуклый четырехугольник abcd. сторона ав точками m и n разделена на 3 равные части, сторона cd разделена точками k и l также на 3 равные части. докажите, что площадь выпуклого четырехугольника klmn равна 1/3 площади данного четырехугольника.

Пусть продолжения прямых AB и CD за точки B и С пересекаются в О и пусть OB=x, OC=y, AM=MN=NB=s, DL=KL=KC=t. Тогда
S(ABCD)=S(OAD)-S(OBC)=1/2*((x+3s)*(y+3t)-xy)*sin(∠BOC)
S(KLMN)=S(OML)-S(ONK)=1/2*((x+2s)*(y+2t)-(x+s)(y+t))*sin(∠BOC)
Отсюда S(ABCD)/S(KLMN)=(3sy+3xt+9st)/(2sy+2xt+4st-sy-xt-st)=3.

Две окружности радиусов 9 см и 3 см касаются внешним образом в точке А,через которую проходит их общая секущая ВС.Найдите длину отрезка АВ если АС=5 см

 

Сделаем рисунок к задаче.

Соединим центры окружностей. Точка ихкасания находится на линии, осединяющей центры.
У задачи есть два варианта решения.
1) Точка С находися на большей окружности.
Тогда АВ является хордой меньшей окружности.
Соединив центры окружности и концы хорд, образованных секущей ВС,
получим подобные треугольники СОА и АоВ.
Они подобны по трем углам.
Углы при А - вертикальные и потому равны.
Углы С и В - углы при основании равнобедренных треугольников с боковыми сторонами - радиусами каждой окружности, и потому они равны углам при А.

Так как углы при основаниях АС и АВ этих треугольников равны, их центральные углы также равны.
Из подобия треугольников АОС и АоВ, коэффициент подобия которых
9:3=3, находим, что
СА:АВ=3
СА:5=3
СА=15 см
-------------------------
2) Точка С находится на меньшей окружности.
Тогда при том же коэффициенте подобия
АВ:АС=3
5:АС=3
АС=5/3=1⅔ см

Секущая ВС , окружность с центром О радиус = 9, окружность с центром О1 радиус=3, АС=хорде в малой окружности=5, соединяем А иС с центром О1, треугольник АО1С равнобедренный О1А=О1С=радиус=3, проводим высоту О1К = медиане, АК=СК=2,5

соединяем  хорду ВА с центром О, треугольник ВОА равнобедренный ОА=ОВ=радиус=9, проводим высоту=медиане ОН на ВА, ВН=АН

соединяем центры О и О1, треугольники АНО и АО1К подобны как прямоугольные треугольники по острому углу угол ОАН=углуО1АК как вертикальные

АО1/АК=АО/АН, 3/2,5 = 9/АН, АН=9 х 2,5  /3 =7,5

АВ =2 х АН = 2 х 7,5 =15