Даны точки C(3;2; 1) , A(2;3;0) , B(4;3; 1) . Вычислите угол между векторами AС и А

324√3 ед²

Объяснение:

Дано: КМРТ - трапеция, КМ=РТ, ∠Т=60°,  КР⊥РТ;  КТ=24√3 . Найти S(КМРТ).

Рассмотрим ΔКРТ - прямоугольный;  ∠РКТ=90-60=30°, значит, РТ=0,5КТ=12√3  по свойству катета, лежащего против угла 30 градусов.

Проведем высоту РН и рассмотрим ΔРТН - прямоугольный;

∠ТРН=90-60=30°, значит, ТН=0,5РТ=6√3 .

Найдем РН по теореме Пифагора:

РН²=РТ²-ТН²=432-108=324;  РН=18.

Найдем МР.  ∠МРК=∠РКН=30° как внутренние накрест лежащие при МР║КТ и секущей КР;  ∠МКР=60-30=30°, значит, ΔКМР - равнобедренный, МР=КМ=12√3 .

S(КМРТ)=(МР+КТ)/2 * РН = (12√3+24√3)/2 * 18=(18√3)*18=324√3 ед²

Дан равнобедренный треугольник ABC, где СA = CB , А(1; -2; 1),                     В(3; 2; -3), точка С лежит на оси ординат. Найти стороны треугольника ABC​  .

ответ:  |AB| = 6 ; |CA| = |CB|  =3√2  ;

Объяснение:  C ∈ Oy  ⇒ C(0 ; y; 0)

|AB| =√ ( (3 -1)² + (2 -(-2) ) ²+( -3 -1)² ) =√ ( 4 + 16+16 ) = 6 ;

CA² = (1 - 0)²+( -2 -y)² + (1 - 0)²   =  1 +( 2 +y)² + 1 = y²+4y+6

CB² = (3 - 0)²+( 2 -y)² + (-3 - 0)²   =y² -4y+22   , но  CA² = CB²  ⇒

y²+4y+6 =  y² -  4y+22  ⇔ 8y  = 16   ⇒   y  = 2  

C(0 ; 2; 0)

|CA| =|√ ( y²+4y+6 ) =√ ( 2²+4*2*+6 )  = 3√2

* * *   |CB|  = √ ( y²-4y+22 ) = √ ( 2²-4*2+22 )  = 3√2  * * *