Прямые m и n - серединные перпендикуляры сторон ab и ac треугольника abc. докажите что точка o равноудалена от всех вершин данного треугольника

Пусть AE высота треугольника ACD. Заметим, что в прямоугольных треугольниках OHA  и EHD острые углы OHA и EHD равны как вертикальные.  А значит, равны и вторые острые углы этих треугольников:

EDH=ОAH. Из этого равенства и равенства углов CAB=CDB получаем, что BAO=HAO. А значит, AO – биссектриса треугольника ABH, но она же и высота этого треугольника (диагонали перпендикулярны). И поэтому треугольник ABH  равнобедренный. AO - его медиана. BO=OH, ВO=HD (по условию) и значит OH=HD и H – середина отрезка DO.

В правильной пирамиде все грани – равнобедренные треугольники и равны, а высота проецируется в центр основания - точку пересечения высот(медиан). По свойству медианы эта точка делит их в отношении 2:1, считая от вершины. Обозначим данную пирамиду МАВС. Высота МО, апофема МЕ=10, высота основания СЕ=18.. 

Высота основания СЕ делится на отрезки СО=18•2/3=12, ОЕ=18:3=6

Треугольник МОЕ прямоугольный и по отношению катета ОЕ  и гипотенузы  МЕ - египетский.  

Поэтому высота пирамиды МО=8 ( можно найти по т.Пифагора).