Втреугольники abc угол c равен 90 градусов.вс=4, ас=4 корня из 3.найти cosb.

АВ²= АС²+ВС²
АВ²= 16·3+16=64
АВ =8
соsВ=ВС÷АВ
соsВ=4÷8=1÷2=0.5
∠В=60°

Половина высоты относится к радиусу вписанной окружности основания как tg(a)
tg(a) = h/2/r
r = h/(2tg(a))
В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности - это точка пересечения медиан, биссектрис и высот. Медианы делятся точкой пересечения как 2 к 1 начиная от угла, и которого построена медиана. Поэтому полная длина медианы равна 3r
Рассмотрим прямоугольный треугольник, равный половине основания. Обозначим сторону основания x. Тогда по Пифагору
x² = (x/2)² + (3r)²
3/4*x² = 9r²
x² = 12r²
x = 2√3*r = 2√3*h/(2tg(a)) = h√3/tg(a)
Площадь основания
S = 1/2*x*3r = 1/2*h√3/tg(a)*h/(2tg(a)) = √3/4*(h/tg(a))²
И объём 
V = 1/3*S*h = 1/3*√3/4*(h/tg(a))²*h = 1/(4√3)*h³/(tg(a))²
на картинке слева сечение пирамиды в вертикальной плоскости, справа - основание.

Этот угол можно найти двумя

а) геометрическим,

б) векторным.

а) При этом делаем перенос отрезка ВМ в общую точку с отрезком В1С, а именно точкой В в точку С и это будет общая точка С.

Получаем треугольник В1СМ. Находим длины его сторон.

В1С = √(9 + 25) = √34,

СМ = √(4² + (3/2)² + (5/2)²) = √(16 + 2,25 + 6,25) = √24,5.

В1М = √(4² + (3+(3/2))² + (5/2)²) = √(16 + 20,25 + 6,25) = √42,5 .

Угол С (общая точка двух отрезков) находим по теореме косинусов.

cos С = ((B1C)² + CM² - (B1M)²)/(2*{B1C|*|CM|).

Подставив значения, получаем cos C = 0,277184.

Угол С равен 1,289935 радиан или 73,907817 градуса.

б) Поместим параллелепипед точкой В в начало координат, АВ по оси Ох, ВС - по оси Оу.

Координаты точек:

В1(0; 0; 5), С(0; 3; 0), вектор В1С(0; 3; -5), модуль √34.

В(0; 0; 0), М(4; 1,5; 2,5), вектор ВМ(4; 1,5; 2,5, модуль √24,5.

cos C = |(0 + 4.5 + (-12.5)|/(√34*√24.5) = 0,277184.

Угол равен 1,289935 радиан или 73,907817 градуса.