Как найти основание треугольника, если известна только высота?

1. Рассмотрим треугольник CKD: CK=KD (по условию), следовательно этот треугольник равнобедренный. Из этого следует, что угол KCD=KDC, по свойству равнобедренного треугольника.
CK и KD - секущие прямые при параллельных основаниях трапеции AB и CD, значит угол KCD=AKC и угол KDC=BKD (как накрестлежащие углы при параллельных прямых(основаниях трапеции) и секущих. Следовательно угол AKC=BKD.

Точка K - середина основания AB, следовательно AK=KB.
2. AK=KB
CK=KD
угол AKC=BKD. Следовательно треугольник AKC=BKD (по 2-ому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними)). Следовательно сторона AC=BD (они равны как равные элементы равных треугольников). Следовательно эта трапеция равнобедренная (по определению равнобедренности).

  Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника.

В четырехугольнике BEQD проведем диагональ ВQ, которая является общей гипотенузой треугольников DEQ  и BDQ.  Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы и равен её половине.  Следовательно ,для  прямоугольных треугольников ВEQ и BDQ описанная окружность будет  общей и описанной около четырехугольника BEQD.  Доказано.

                    *   *   *

  Решение этой задачи  может опираться на теорему  о четырехугольнике, около которого описана окружность. Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.  Два противоположных угла прямые, их сумма 180°, следовательно, сумма ∠В+∠Q=180° ⇒ около четырехугольника BEQD можно описать окружность.