Угол при основании равнобокой трапеции равен 45 градусов боковая сторона 8 см меньшее основание 10 см чему равна средняя линия трапеции

Значит по рисунку угол BAB1 равен 45
рассмотрим треугольник ВВ1А
Он у нас будет равнобедренным, так как углы ВАВ1 и B1BA равны по 45 градусов
следовательно АВ1=В1В
по теореме Пифагора ВА в кв=АВ1 в кв+В1В в кв
ВА в кв=2В1В в квд
64=2В1В в кв
В1В в кв=32
В1В=4 корня из 2
АD=B1C1+2AB1
B1C1=BC
AD=10+8 корней из 2
средняя линия равна (ВС+AD)/2
(10+10+8 корней из 2)/2=(20+8 корней из 2)/2=10+4 корней из 2

– катеты; AB=c – гипотенуза.

Также в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна : .

Для прямоугольного треугольника также верна теорема Пифагора: .

Введём теперь понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника

Определение

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

, .

Определение

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.

, .

Определение

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.

, .

Связь катетов и гипотенузы, двух катетов через тригонометрические функции угла

С введённых понятий можно находить катеты или гипотенузу.

Например, из формулы: . Аналогично: .

Также можно получить формулу для связи длин двух катетов: .

Связь синуса и косинуса двух острых углов прямоугольного треугольника

При решении задач очень важно знать соотношения между синусом, косинусом и тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

Рассмотрим следующие две формулы: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:

Аналогично получаем: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:

Формула, связывающая тангенс с синусом и косинусом

Докажем теперь важную формулу, связывающую тангенс с синусом и косинусом:

Доказательство независимости значения тригонометрических функций от размеров треугольника

Доказательство

Запишем определение синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника: , . Тогда: . Доказано.

Аналогично: .

Рассмотрим следующую важную задачу.

Задача

Даны прямоугольные треугольники . Кроме того, .

Доказать:.

Доказательство

(так как оба треугольника прямоугольные с равными острыми углами). Значит, выполняется следующее соотношение: .

Отсюда получаем: .

.

.

Доказано.

Вывод: синус, косинус и тангенс не зависят от треугольника, а зависят только от угла.

Основное тригонометрическое тождество

Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем, связывающих синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника, – основное тригонометрическое тождество.

Основное тригонометрическое тождество: .

Примечание:

Доказательство

, тогда:  (при доказательстве мы пользовались теоремой Пифагора: ).

Доказано.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий связь тригонометрических функций.

Решение примера

Дано:  – прямоугольный (), .

Найти:

Решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: . Подставим в него известное нам значение синуса: . Отсюда: . Так как косинус, по определению, – это отношение катета к гипотенузе, то он может быть только положительным, поэтому: .

Найдём теперь тангенс угла, пользуясь формулой: .

ответ: .

На этом уроке мы рассмотрели понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, вывели некоторые их свойства и формулы связи между этими величинами. На следующем уроке мы познакомимся со значениями синуса, косинуса и тангенса для некоторых конкретных значений углов.

Список литературы

Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник).

Xvatit.com (Источник).

Egesdam.ru (Источник).

Домашнее задание

№ 133(а-г), 134(а-г), Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.

Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен .

Связь числа и геометрии. Часть 1. Измерения в геометрии. Свойства фигур

АВ=ВС, т.к. треугольник равнобедренный, а АС - основание. 
ВК=2, АК=8, тогда, АВ=10.
Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, проведём биссектрису ВН: точка Н совпадёт с точкой касания окружности на стороне АС, т.к. в биссектриса, проведённая из угла В, является и высотой, и медианой, т.е. угол АНС = 90 градусов. 
АН=АК, т.к. отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, т.е. АН=8, тогда АС=16. 
В прямоугольном треугольнике АВН АВ=10, АН=8, тогда по теореме Пифагора ВН=6. 
Найдём площадь треугольника: 1/2 * АС * ВН = 1/2 * 16 * 6 = 42.