Втреугольнике abc угол a равен 60◦, а биссектриса угла a, медиана, проведенная из вершины b, и высота, прове- денная из вершины c, пересекаются в одной точке. найдите остальные углы треугольника. я знаю, что такое возможно только в равностороннем треугольнике, но мне нужно доказательство!

Пусть CH - высота, BM - медиана и О - их точка пересечения. Тогда ∠ACH=90°-60°=30°. Кроме того, ∠ОАM=30° (AO - биссектриса), т.е. треугольник AOC - равнобедренный (у него два угла по 30°),  ОM - его медиана, а значит и высота. Т.е. BM - одновременно медиана и высота треугольника ABC. Значит АВС - равнобедренный с углом 60°. Значит, он равносторонний. Т.е. все углы по 60°.

Для удобства будем ставить элементы креста по одному. Для начала ставим белый центр наверх и на кубике находим 4 ребра с белым цветом: бело-красное, бело-оранжевое, бело-синее и бело-зеленое. После этого выбираем любое, его мы и будем ставить первым. У нас может возникнуть несколько ситуаций, каждая из которых рассмотрена на картинках ниже.

Если ребро стоит в среднем слое, то просто движениями R или L' ставим их к белому центру.

Но это место может оказаться уже занято другим ребром с белым цветом, поэтому мы должны отвести его в сторону при поворотов U, U' или U2 и поставить нужное нам ребро уже знакомыми поворотами R или L'.

Если же ребро окажется на верхнем или нижнем слое, то движениями F или F' ставим их в средний слой и делаем R или L', как и до этого.

Также ребро может оказаться в нижнем слое и белым цветом смотреть вниз. В таком случае ставим свободное место наверху над ним и поднимаем ребро движением F2.

Таким образом нужно поставить к белому центру все 4 ребра.

Продолжим АО и обозначим смежный угол как BOM. Биссектрису этого угла назовем OD и будем искать угол COD.
1.  Отношение 3 : 5 говорит о том, что угол AOC меньше угла BOC на 2 части, на которые приходится 42град. Значит, на одну часть приходится 21град. Тогда 3 части (угол AOC) = 21 * 3 = 63град.  5 частей (угол BOC) = 21 * 5 = 105град.
2.  <BOA = <BOC + <COA = 105 + 63 = 168град.  <BOA = 180град - <BOA = 12град.
3.  <BOD = 1/2 угла BOM = 6град. 
4.  Искомый угол DOC = 6 + 105 = 111град.