Диагонали ромба abcd пересекаются в точке о, ac: bd=3: 2, oe перпендикулярен ab.площадь треугольника aeo равна 27 кв. см. найдите площадь ромба

                  в                     с

            е            

                        о

 

    а                         д

 

ас: вд=3: 2, ао: во=1,5: 1 (диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам).

треугольник ове подобен треугольнику аео (по свойству высоту к гипотенузе прямоугольного треугольника), где вo и ао гипотенузы. тогда saeo/sobe=(1,5/1)^2

sobe=27/2,25=12

saob=saeo+sobe=27+12=39

sabcd=4*saob=4*39=156

 

^2-во второй степени

 

Трапеция авсд, ав=сд, угола=уголд, уголв=уголс, вк -высота на ад=5=ст на ад, ас диагональ, мн-средняя линия, о - пересечение мн и ас, мо=4, он=9, треугольник авс, мо-средняя линия треугольника=1/2вс, вс=2*мо=4*2=8, треугольник асд, он-средняя линия треугольника=1/2ад, ад=2*он=2*9=18, треугольник авк=треугольник тсд по гипотенузе и острому углу, ак=тд, квст-прямоугольник вс=кт=8, ак=тд=(ад-кт)/2=(18-8)/2=5, треугольник авк прямоугольный, вн=ак=5, треугольник равнобедренный, угола=уголавк=90/2=45=уголд, уголв=уголс=180-45=135

Треугольник аве равен треугольнику cdf, т.к. ав=сд, угол 1=углу 2, как накрест лежащие при параллельных прямых ав и сд и секущей ас. треугольники прямоугольные равны по гипотенузе и острому углу. а в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. значит be=fd. но они ещё и параллельны, как  2 перпендикуляра к одной прямой.  отсюда треугольники def и def  равны к прямоугольные, по двум катетам. а в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. против угла f лежит сторона ед против угла е лежит сторона bf. значит они равны. а если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то это параллелограмм. что и требовалось доказать.