Докажите , что середины сторон произвольного четырехугольника abcd являются вершинами параллелограмма.

пусть abcd  — произвольный выпуклый четырехугольник, k, l, m и n  — середины сторон ab, bc, cd и ad соответственно. так как kl  — средняя линия треугольника abc, то прямая kl параллельна прямой ac и    аналогично, прямая mn параллельна прямой ac и    следовательно, klmn  — параллелограмм. рассмотрим треугольник kbl. его площадь равна четверти площади треугольника abc. площадь треугольника mdn также равна четверти площади треугольника acd. следовательно, 

аналогично, 

это значит, что 

откуда вытекает, что 

Трапеция, это четырехугольник. четырехугольник описанный около окружности обладает следующим свойством: суммы противолежащих сторон равны. значит в данной трапеции сумма боковых сторон будет равна сумме оснований. т. е. сумма оснований равна 3+3=6. площадь трапеции равна полусумма оснований умноженная на высоту трапеции. значит 6/2 *h=6, 3h=6, h=2. высота трапеции равна 2. высота трапеции равна диаметру круга. значит радиус круга равен 2/2=1. площадь круга равна pi*r^2. s=pi*1^2=pi. ответ: площадь круга равна pi.

Сколько бы ни было сторон у многоугольника выпуклого - чсе равно можно будет в центре его поставить точку. а если ту точку соединить с вершинами этого многоугольника - получится столько  треугольников, сколько сторон у многоугольника..  очевидно, что сумма его (многоугольника) углов будет равна сумме углов всех этих треугольников минус 360 градусов - это все углы около той вершины всех этих треугольников, которая в поставленной нами точке находятся. даже мне известно, что сумма углов любого треугольника = 180 градусов. то есть  - сумма углов многоугольника должна соответствовать таким условиям: 180 *n - 360, где n - количество вершин (=количество сторон) многоугольника. получается, что нам нужно проверить, кратна ли 180 сумма данного числа и 360 проверяем: вот сумма: 1980+360 = 2340 проверяем кратнсть: 2340/180 = 13 поделилось нацело, а это значит, что ответ: существует выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна 1980. мало того, мы знаем, это - тринадцатиугольник! ) ура! )