Вправильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к основанию под углом 60 градусов. расстояние от центра основания до боковой грани равно 2√3. найти объём пирамиды. ответ: 192

Формула площади боковой поверхности конуса
S=π r l
где  r-радиус его основания, - l- образующая. 

Радиус и образующую предстоит найти.

Сделаем рисунок осевого сечения конуса и шара, вписанного в него.
Это сечение - равнобедренный треугольник с вписанной в него окружностью.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ВКО.
ВО = высота без радиуса
ВО=18-5=13
Тогда ВК, как сторона треугольника с отношением Пифагоровой тройки равна 12

( можно проверить т. Пифагора, получится такая же длина ВК)

В треугольнике АВН отрезок АК=АН как части касательных к окружности.
Пусть они равны х.
Тогда АВ=12+х.
АВ²=ВН²+АН²
(12+х)²=18²+х²
144+24х+х²=324+х²
24х=180
х=7,5
Радиус основания конуса равен 7,5
Образующая равна 12+7,5=19,5
S=π r l=π*7,5*19,5=146,25π или ≈ 459,458

В прямоугольном треугольнике АТВ (АТВ = угол DTB =90°, так как опирается на диаметр DB SinA = ВТ/АВ = 9√3/12√3= 3/4 = 0,75. По таблице синусов находим, что это угол 48,6°

В треугольнике DTO угол TDO=DTO (т.к. DTO - равнобедренный OD=OT =R) и = ABD (т.к. DAB - равнобедренный - половина ромба), а тогда  угол TOD = DAB = 48,6°.

Площадь сегмента DT по формуле Sdt = R²/2(π*A°/180° - SinA) = 1/2*8,48²(3,14*48,6/180 -0,75) ≈ 3,5. Но таких сегментов четыре, значит площадь части круга, расположенного вне ромба равна 3,5*4 = 14.