Дано: abc равносторонний треугольник bd-высота и равна 14 найдите: od=r, bo=r

Центр описанной окружности и центр вписанной окружности в правильном треугольнике совпадают и являются точкой пересечения медиан. А точка пересечения медиан делит ее в отношении 2:1, считая от вершины. BD- является высотой и медианой, поэтому ОВ =R = 2/3 BD = 2/3 * 14 = 28/3. ОD=r = 1/3 OD = 1/3 * 14 = 14/3.

В четырехугольник, значит, и в трапецию, вписать окружность можно тогда и только тогда, когда суммы ее противоположных сторон равны. 
Следовательно,
АВ+СD=AD+BC=20
В комментарии к условию указано, что трапеция равнобедренная. Следовательно.
АВ=СD=20:2=10 
Соединим точки касания окружности М и Н. 
Опустим из В и С перпендикуляры ВК и СР. 
КР=ВС=ТЕ=6 
АК=(АD-DC):2=(14-6):2=4 
По свойству отрезков касательной из одной точки 
ВМ=ВО=ОС=СН=3 
Тогда АМ=НD=10-3=7 
Рассмотрим треугольники АВК и ВМТ.
Они подобны, т.к. МН параллельна АD⇒. 
МТ:АК=ВМ:ВА 
МТ:4=3:10 
10 МТ=12 
МТ=1,2 
ЕН=МТ 
МН=МТ+ТЕ+ЕН=8,6

Для начала разберёмся с определениями:

1. Острый угол — угол от 0 до 90 градусов (не включая граничные значения).

2. Тупой угол — угол от 90 до 180 градусов (не включая граничные значения).

3. Прямой угол — угол 90 градусов.

Остроугольный треугольник — треугольник, у которого все углы острые.

Тупоугольный треугольник — есть один тупой угол.

Прямоугольный треугольник — есть один прямой угол.

Данные определения исключают варианты 1,3,4.

Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусов.

5) у которого один угол прямой, один — тупой, один — острый.

90̊  + 91̊  уже будет равно 181̊ , а это противоречит теореме. Исключаем и этот вариант.  

Верный ответ: 2) у которого все углы острые.