Докажите, что диаметр окружности, проходящей через середину хорды, пперпендикулярен хорде. дано найти решение 25 !

АВ - хорда, КМ - диаметр, пересекающий хорду в точке Р, АР=ВР, точка О - центр окружности.
Докажем, что КМ⊥АВ.
В тр-ке ОАВ ОА=ОВ - радиусы окружности, значит ΔОАВ - равнобедренный.
В равнобедренном тр-ке медиана, проведённая к основанию, является высотой, значит ∠ОМА=90° ⇒ КМ⊥АВ.

ответ:

средневековье. после падения александрии большинство работ древнегреческих были рассеяны или утрачены.за последние 300 лет доказательная была существенно расширена, а по своим и степени общности результатов она стала заметно отличаться от элементарной (т.е. , изложенной в началах). французский ж.дезарг (1593-1662) в связи с развитием учения о перспективе занялся исследованием свойств фигур в зависимости от их проекций. тем самым он заложил основу проективной , которая изучает те свойства фигур, которые остаются неизменными при различных проекциях. в 19 в. это направление получило существенное развитие. проективная , конические сечения и новая треугольников и окружностей составили содержание современной т.н. чистой .

Это задачка на теорему Менелая. Если прямая пересекает AC в точке K, то 
BN*CK*AM/(NC*KA*MB) = 1;
Если обозначить KC = p*AC; AM = q*BA; то
2*p*q/((1-p)*(1+q)) = 1;               (1)
Треугольник CNK по условию имеет площадь 1/5 от площади ABC; (я считаю, что площадь BNKA в 4 раза БОЛЬШЕ площади CNK. Если наоборот, то положение точки K не может соответствовать условию - она будет вне треугольника.)
По условию NC = BC/3; поэтому расстояние от N до AC составляет 1/3 расстояния от B до AC. Отсюда (площадь CNK) = p*(1/3)*(площадь ABC); или
p/3 = 1/5; p = 3/5; p/(1 - p) = 3/2; если подставить это в (1) 
q/(1 + q) = 1/3; q = 1/2;
То есть AM = BA/2; 

Доказательство теоремы Менелая необыкновенно простое. Если провести какую-то прямую вне треугольника, так, чтобы она пересекалась с прямой NM в точке D где-то вне треугольника, потом провести через три вершины прямые параллельно NM, которые пересекут эту прямую в точках A2; B2; C2; (ну, в смысле AA2 II BB2 II CC2 II MN, и напомню, точка К  - тоже на MN)
то

(BN/NC)*(CK/KA)*(AM/MB) = (B2D/DC2)*(C2D/DA2)*(A2D/DB2) = 1;

это всё доказательство. С учетом "знака", то есть "направления" отрезка, пишут обычно -1; тут при составлении равенств важно не запутаться в отрезках :)))