Втреугольнике abc точка n является серединой медианы am. прямая cn пересекает отрезок ab в точке p. найдите ap: bp. ответ запишите в виде десятичной дроби.

Отложим на прямой отрезок

проведём отрезки и

В четырёхугольнике – диагонали и делят друг друга пополам, а значит – параллелограмм.

И значит а стало быть по теореме Фалеса – середина откуда следует, что – средняя линия и а поэтому – средняя линия т.е. – середина

В и – мидианы.

По свойству медиан, они пересекаются в точке с отношением:









О т в е т :

В задании на рисунке две прямых с.

Изменив рисунок, получаем: прямая d пересекает три прямые a, b и с.

Чтобы была возможность именовать углы, обозначим на прямых точки A, B, C, D, E, F, K, L, М, Р и R (см. рисунок).

Не забываем: )

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

1) Вертикальные углы при пересечении двух прямых всегда равны, а это значит:

∠РКВ=∠AKL=112°,

∠KLD=∠CLM=112°,

∠EML=∠RMF=68°.

2) Как видим из предыдущего пункта, ∠PKB=∠KLD=112° ⇒ прямые a и b параллельны, т.к. углы равны как соответственные, а прямая d — секущая.

3) Прямые b и c тоже параллельны, покажем это.

Известно, что ∠CLM=122°, ∠EML= 68°.

∠CLM+∠EML=122°+68°=180°.

Согласно теореме, если две прямые при пересечении секущей параллельны, то их односторонние углы в сумме составляют 180°.

∠CLM+∠EML=180° ⇒ прямые b и c параллельны! (т.к. сумма одностор. углов 180°, прямая d — секущая)

4) Из 2 и 3 пунктов известно, a||b и b||c ⇒ a||c ⇒ a||b||c.

ответ: прямые а, b и с параллельны.

6

 

AD=25

AB=15

BAC=DAC

DB и АВ перпендиккулярны

 

Накрест лежащие углы CAD и АСВ равны. Тогда АВС равнобедренный и ВС=15

Треугольники ABH и ABD подобны. Отношение:

АВ:АН=АD:АВ

15:АН=25:15

АН=9

 

Остается найти ВН  по теореме Пифагора:

ВН=корень(15^2-9^2)=12

 

S=(15+25)/2*12=240

 

ответ: 240

 

7

 

Теорема косинусов для треугольника AМC

AC^2=AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC

 

Теорема косинусов для треугольника BМC

BC^2=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC

 

AC=BC (треугольник равносторонний) Тогда AC^2=BC^2

 

AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC

AM^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2-2*BM*CM*cosBMC

 

АМ и ВM знаем

2^2-2*2*CM*cosAMC=10^2-2*10*CM*cosBMC

4-4*CM*cosAMC=100-20*CM*cosBMC

 

Углы ВМС и ВАС равны, опираются на одну дугу. ВАС=60 - равносторонний треугольник.

Угол АМС=АМВ+ВМС=АСВ+ВАС=60+60=120

 

4-4*CM*cos120=100-20*CM*cos60

4-4*CM*(-1/2)=100-20*CM*1/2

4+2*CM=100-10*CM

12*CM=96

СМ=8

 

ответ: 8