Даны точки A(3;4), B(-4;0), C(5;-3) и M(-2;7Равны ли вектора:AB=CM

Обозначим медиану АМ, биссектрису ВК. 

ВК⊥АМ и пересекает ее в т.Н. 

ВН является высотой ∆ АВМ. 

Высота и биссектриса совпадают ⇒треугольник АВМ равнобедренный,  ВМ=АВ

Длины сторон треугольника ABC — последовательные целые числа (дано). 

Примем сторону АВ=х,  АС=х+1, ВС=х+2

Тогда СМ=х+2-х=2

Т.к. АМ медиана, то ВМ=СМ=2,  ⇒

ВС=4, АВ=ВМ=2, АС=2+1=3

Предположим, что большей является сторона АС.  Тогда АВ=1, ВС=2, АС=3; это противоречит теореме о неравенстве треугольника (3=1+2). Следовательно, АВ=2, АС=3, ВС=4

 Периметр АВС=2+3+4=9 (ед. длины)

Пусть в стороны треугольника равны a,b,c, а медианы, проведенные к соответствующим сторонам, равны . Рассмотрим треугольник с медианой , проведенной к стороне a. Медиана разбивает треугольник на два треугольника, для каждого из этих двух треугольников запишем неравенство треугольника, учитывая, что медиана  делит сторону a пополам:




Сложим данные неравенства и получим:



Аналогичные действия можно проделать с двумя другими медианами. В итоге мы получим три неравенства:





Сложим данные неравенства. Получим:



Теперь вычтем из обеих частей неравенства (a+b+c). Получим:



А это есть именно то утверждение, которое требуется доказать.