1. апофема правильной треугольной пирамиды равна 4см, а двугранный угол при основании равен 60 градусов. найдите объем пирамиды.

1) V =⅓·Sосн·Н

2) Из ΔDOH-прям.: H=OD=DH·sin 60⁰=4·√3/2=2√3(см);

                              r =OH=DH/2=2(см).

(! радиус, вписанной  в основание пирамиды, окр-сти)

3)!Сторона прав. тр-ка равна произведению двух" маленьких" радиусов на √3:

   АВ= 2·ОН·√3=4√3

 S осн=АВ²·√3/4=(4√3)²·√3/4=12√3 (см²)

4) V =⅓·Sосн·Н = ⅓·12√3·2√3=24 (см³).

ответ:  24 см³. 

1. д) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна. (аксиома)

      2.д) бесконечно много ( т.е. имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей) или ни одной ( если они параллельны).

      3. в) Три  данные точки лежат на одной прямой - они принадлежат ей. Через прямую и точку D, не лежащую на этой прямой, можно провести плоскость, притом только одну. ответ:1; 

      4. в) определяют в любом случае; Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, причём  только одну. 

      5. б) через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна;

Центром описанной окружности  треугольника является точка пересечения срединных перпендикуляров. 

Для остроугольного треугольника этот центр будет в треугольнике. 

Построение. 

 Построить  нужный  треугольник не составляет труда. 

1) Для остроугольного треугольника центр описанной окружности будет внутри треугольника. . 

Измерьте линейкой каждую сторону  треугольника и найдите ее середину. С угольника ( у него есть прямой угол) проведите из  середины каждой стороны прямые. Точка их пересечения - искомый центр описанной окружности. 

Расстояние от него до вершин треугольника равны радиусу описанной окружности.

2) Для тупоугольного треугольника построение будет таким же, но срединные перпендикуляры пересекутся ВНЕ треугольника.

3) Для прямоугольного треугольника достаточно найти середину гипотенузы, т.к. срединные перпендикуляры пересекаются именно в этой точке. Полезно запомнить, что центром описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности является середина его гипотенузы, т.к. расстояния от нее до вершин треугольника равны.  

Как это выглядит, дано в приложении.