Вправильной треугольной пирамиде боковое ребро с плоскостью основания образует угол 45°. высота пирамиды равна 14 см. вычисли сторону основания пирамиды.

Пусть SABC - правильная пирамида. SO-высота пирамиды .О - центр правильного треугольника.∠SAO= 45°.  SO=14 cм.
 Из Δ SAO :  ∠SOA=90°, ∠SAO= 45° ⇒ ∠ASO=45° ⇒ AO=SO=14 cм.
Точка О -центр правильного треугольника .Следовательно, АО= 2/3 h ,
где h - высота правильного треугольника. h = (a·√3)/2  Тогда
АО=(2/3)·(a√3)/2=(a√3)/3. AO=14 cм.
Получим уравнение :(a√3)/3=14 ⇒ a=14·√3

Это задача на прямое применение известной формулы "площадь ромба равна половине произведения диагоналей":
S=(1/2)15·9=135/2

Если Вы эту формулу не знаете, надо разбить ромб его диагоналями на 4 одинаковых прямоугольных треугольника (их катеты будут 15/2 и 9/2), найти площадь одного из них по формуле "половина произведения катетов", после чего результат умножить на 4.

Кстати, существует формула для площади любого выпуклого четырехугольника: площадь равно половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Советую доказать ее и в дальнейшем при необходимости использовать.

Т.к. треугольник АBC равнобедренный, то прямая MN отсекает от треугольника ABC равнобедренный треугольник поменьше - MCN. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, т.е. если угол MNC = 108 градусов, то углы NMC и NCM будут равны как углы при основании (180 - 108 = 72/2 = 36).
т.к. угол NCA равен 36 градусов, то и угол BCA будет равен 36 градусов.
угол BAC равен углу BCA как углы при основании равнобедренного треугольника и будет равен так же 36 градусов.
угол ABC будет равен разности сумм углов BAC и BCA (угол ABC = 180 - угол BAC + угол BCA = 180 -(36+36) = 108)