Длина основания равнобедренного треугольника равна 32 см, а длина внутреннего отрезка прямой, которая проходит через точку пересечения высот параллельно основанию, равна 14 см. найдите длинну боковой стороны

См. рисунок. По условию основание a = 32; отрезок c = 14; надо найти b.
Так как отрезок с проходит через точку пересечения перпендикуляров к сторонам, то равны отмеченные на рисунке буквой α углы.
Отрезок высоты от вершины до точки пересечения высот я отметил буквой H, а от точки пересечения высот до основания - буквой h. Вся высота равна H + h, разумеется.
tg(α) = h/(a/2);
tg(α) = (c/2)/H;
tg(α) = (a/2)/(H + h);
по идее этих трех соотношений должно хватить, чтобы найти H + h;
Если исключить tg(α), получится
2h/a = c/(2H);
c/H = a/(H + h);
или
4Hh = ac;
c(H + h) = aH; => H = hc/(a - c); => H + h = ha/(a -c);
Получилось h^2 = a(a - c)/4; и H + h = (a/2)√(a/(a - c));
b^2 = (H + h)^2 + (a/2)^2 = (a/2)^2*(1 + a/(a - c)) =  (a/2)^2*(2a - c)/(a - c);
Это ответ. Если подставить a = 32; c = 14; то получится
b^2 = 16^2*50/18 = 16^2*25/9 = (80/3)^2;
b = 80/3;

По свойству параллельности прямых если одна из пары параллельных прямых параллельна третей прямой то и другая прямя из пары параллельна третей  в нашем случае А║В и А║С ⇒В║С
Расстояние между прямым В и С  будет зависеть от расположения прямой С которая может находиться по разные стороны от прямой А на расстоянии 6дм тогда, при условии что расстояние от А до В равно 4дм,
расстояние между В и С можт быть 
1) 6-4=2 Дм при условии что В и С лежат по одну сторону от А
2) 6+4=10 Дм при условии что В и С лежат по разные стороны от А

1)Высота прямоугольного треугольника, проведенного из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
т.е. H= корень из (18*2) = 6.
Рассмотрим один из образовавшихся треугольников. В нём угол, который образует высота, равен 90. ПО т. Пифагора: b= корень (18^2+6^2) = корень из 360.
Теперь по т. Пифагора ля всего треугольника. а = корень из ((18+2)^2 - (корень из 360)^2) =  корень из 40
Находим площадь, S=1/2 ab
S= 1/2*корень из 40* корень из 360 = 60.