Найти кут между диагональю квадрата и плоскостью проведённую через сторону квадрата под углом 60 градусов к плоскости квадрата.

1. построить угол между данными плоскостями --это угол между перпендикулярами к линии пересечения плоскостей (к стороне квадрата)
2. построить перпендикуляр к плоскости это будет катет в прямоугольном треугольнике с углом в 60°
и тогда треугольник с искомым углом окажется тоже прямоугольным)))
можно записать любую функцию для искомого угла:
sin(KAC) = (a√3 / 2) : a√2 = √3 / (2√2) = √6 / 4
cos(KAC) = (a√5 / 2) : a√2 = √5 / (2√2) = √10 / 4
tg(KAC) = (a√3 / 2) : (a√5 / 2) = √(3/5) = √0.6
или (в общем случае)) по т.косинусов...

В тетраэдре ABCD, где A(1; 0;-1), B(1; 2; 0),C(0; 1;-2), D(-1;-4; 1), найти на плоскости грани ABC точку, ближайшую к вершине D.

Точка на плоскости грани ABC, ближайшая к вершине D, - это основание  перпендикуляра из точки D к плоскости АВС, или по-другому – точка пересечения этого перпендикуляра с плоскостью.

Находим уравнение плоскости и её нормальный вектор.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA               y - yA                 z - zA

xB - xA           yB - yA               zB - zA

xC - xA          yC - yA               zC - zA = 0

Подставим данные и упростим выражение:

  x - 1            y               z - (-1)

  1 - 1         2 – 0           0 - (-1)

  0 - 1         0 – 1          -2 - (-1) = 0

 x - 1        y       z + 1 |       x - 1        y

 0             2          1    |         0           2

-1           -1          -1    |        -1          -1     =  

= (x – 1)*(-2) + y*(-1) + (z + 1)*0 – y*0 – (x – 1)*(-1) – (z + 1)*(-2) =

= -2x + 2 – y – x + 1 + 2z+ 2 = -3x – y + 2z + 5 = 0 или с положительным коэффициентом при х: 3x + y – 2z – 5 = 0.

Нормальный вектор этой плоскости равен (3; 1; -2) и является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.

Получаем уравнение перпендикуляра из точки D(-1;-4; 1).

((x + 1)/3) = (y + 4)/1 = ((z – 1)/(-2).

Координаты, которые имеет точка М пересечения  x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:

{((x + 1)/3) = (y + 4)/1 = ((z – 1)/(-2).

{3x + y – 2z – 5 = 0.

Из уравнения прямой получаем зависимость переменных.

x + 1 = 3y + 12, отсюда y = (1/3)x – (11/3).

-2x - 2 = 3z – 3, отсюда z = (-2/3)x + (1/3).

Подставим их в уравнение плоскости.

3x + ((1/3)x – (11/3)) – 2((-2/3)x + (1/3)) – 5 = 0,

3x + (1/3)x – (11/3) + (4/3)x – (2/3) – 5 = 0,

(14/3)x = 28/3,

x = 28/14 = 2,

y = (1/3)*2 – (11/3) =  -9/3 = -3,

z = (-2/3)*2 + (1/3) = -3/3 = -1.

Найдена точка М пересечения перпендикуляра из точки D с плоскостью ABC.

Это и есть проекция точки D на плоскость АВС.

М(2; -3; -1).

В прямоугольном треугольнике ABC:
AB - гипотенуза
BC = 8 см - катет
AC - катет

По условию
AB = BC + AC - 4 
AB = 8 + AC - 4
AB = AC + 4

По теореме Пифагора:
AB² = BC² + AC²
AB² = 8² + AC²
AB² = AC² + 64

(AC + 4)² = AC² + 64
AC² + 8AC + 16 = AC² + 64
8AC = 64 - 16
8AC = 48
AC = 6 (cм)

Тогда AB = 6 + 4 = 10 (cм)

Получаем прямоугольный треугольник со сторонами 6, 8 и 10.
∠C = 90°
∠A можно определить по синусу угла, т.е. по отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB

sin(A) = BC/AB
sin(A) = 8/10 = 0,8

По таблице Брадиса находим, что данной величине приблизительно соответствует угол 53°7' ≈ 53°

Сумма углов треугольника равна 180° ⇒ ∠B = 180 - 90 - 53 = 37 (°)

∠A является большим из острых углов треугольника ABC.
∠A = 53°

P.S. такой треугольник называется египетским или золотым