Конспект расстояние от точки до прямой. расстояние между параллельными прямыми

Рас­сто­я­ни­ем от точки А до пря­мой будет длина пер­пен­ди­ку­ля­ра АН Важно за­ме­тить, что АН – крот­чай­шее рас­сто­я­ние, так как в тре­уголь­ни­ке АМН дан­ный от­ре­зок яв­ля­ет­ся ка­те­том, а про­из­воль­ный иной от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий точку А и пря­мую а (в дан­ном слу­чае – это АМ) будет яв­лять­ся ги­по­те­ну­зой. Как из­вест­но, катет все­гда мень­ше ги­по­те­ну­зы

1. Соединим точки С и D с центром. Тогда треугольники AOD и ВОС равнобедренные (OA = OB = OC = OD как радиусы), ⇒

∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4.

∠2 = ∠3 как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей АВ. Но тогда в этих треугольниках равны и углы при вершине О. Значит треугольники AOD и ВОС равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒

AD = BC.

2. Точки, находящиеся на данном расстоянии от данной прямой а, будут расположены на прямой, параллельной прямой а (красные прямые). В зависимости от расположения прямых задача может иметь одно решение (1), два решения (2) и не иметь решения (3).

1. Пусть а и b - стороны прямоугольника.

2. Составим систему уравнений, в которой первое уравнение будет  выражать периметр прямоугольника, а второе - площадь.

{ 2 • (a + b) = 22,  

{a • b = 28.

3. В первом уравнении разделим обе части на 2.

{ a + b = 11,  

 

{a • b = 28.

4.  Выразим одну из строн в первогом уравнении, подставим во второе и решим его.

a = 11 - b,

(11 - b) • b = 28,

11b - b^2 = 28,

b^2 - 11b + 28 = 0,

b1 = 4, b2 = 7.

Выразим а через полученные значения b.

a1 = 11 - 4 = 7,

a2 = 11 - 7 = 4.

ответ: ширина прямоугольника равна 4, а длина - 7.