Через середину прямоугольника авсд; ас-диагональ, а точка о - середина диагоналии, проведена прямая, пересекающая вс и ад в точках р и к соответственно. доказать: 1)арск - параллелограмм. 2) найти его площадь, если: ак=4, кд=8, ас=13 3)найдите отрезок рк.

1. Треугольник РОС равен треугольнику АОК по двум углам и стороне между ними (<POC=<AOK - вертикальные, <PCO=<OAK - внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС, а АО=ОС - диагональ АС в точке О делится пополам).
Из равенства треугольников имеем: АК=РС.  Итак, в четырехугольнике АРСК противоположные стороны АК и РС равны и параллельны.  Но, если четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон, то такой четырехугольник - параллелограмм (признак).
Что и требовалось доказать.
2. По Пифагору: DC=√(169-144)=5. Sckd=(1/2)*KD*DC= (1/2)*8*5=20.
Заметим, что Sabp=Sckd, а Sapck=Sabcd-2*Sckd=60-2*20=20.
ответ: Sapkd=20.
3. По Пифагору СК=√(64+25)=√89.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: АС²+РК²=2*СК²+2АК²  или  169+РК²=2*16+2*89, отсюда
PK=√41.

Теорема косинусов:Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.Теорема Пифагора это частный случай теоремы косинусов о которой я поведу речь. Теорема косинусов имеет вид:a2 = b2 + c2 - 2bc*Cos(A)Cos(A) это угол лежаший напротив стороны a (обычное обозначение сторон и углов: напротив стороны "а" лежит угол A, "b" лежит угол B, "c" лежит угол C).Доказательство теоремы не очень сложное, судите сами: Введем систему координат с началом в точке А так, как показано на рисунке. Тогда точка В имеет координаты (с;0), а точка С - (b cos A; b sin A). По формуле расстояния между двумя точками получаемВС2 = а2 = (b cos(A) - c)2 + b2Sin2(A) == b2Cos2(A) + b2Sin2(A) - 2*bcCos(A) + c2 == b2 + c2 - 2*bcCos(A)

Думаю, Вы без труда справились бы с задачами самостоятельно, если бы сделали рисунки к ним. 

Трапеция :

Треугольник примыкает к стороне АВ. Его сторона ВЕ=СД

Значит, от периметра трапеции периметр треугольника отличается на длину двух ВС ( в параллелограмме  ВСДЕ  -    ЕД=ВС)

Периметр трапеции равен 12+6·2=24 см   (длина АЕ дана, видимо, чтобы слегка запутать)

Ромб, в котором тупой угол равен 120 градусам, "составлен" из двух равносторонних треугольников. Меньшая диагональ в нем равна стороне ромба. ⇒ 

Сторона ромба 8 см, периметр 4·8=32 см