Дан треугольник авс. ав=4, вс=6, ас=7. точка ележит на стороне ав. внутри треугольника взята точка м, так, что мв=5, 25; ме=4, 5; ае=1. вм пересекает ас в точке р. докажите, что треугольник арв равнобедренный.

в треугольнике авс (стороны ав =4 ас=7 вс=6)

cos(a) =  (4^2 + 7^2 - 6^2)/(2*4*7) = 29/56; (теорема косинусов)

в треугольнике bme (стороны ме=4,5 мв=5,25 ве = ав - ае =3)

cos(угол mbe) = (5,25^2 + 3^2 - 4,5^2)/(2*4*5,25) = 16,3125/31,5;

29/56 = (29*9)/(56*9) = 261/504;

16,3125/31,5 = (16,3125*16)/(31,5*16) = 261/504;

то есть косинусы этих углов равны, но это два угла в треугольнике арв. 

поэтому ар = вр.

 

Найдем длины сторон треугольника, то есть найдем длины векторов ав, вс, и ас. если среди них окажутся два равных по модулю вектора, значит треугольник равнобедренный. сначала определяем координаты векторов, а затем вычисляем длину. ab=(-1-3; 2+2)=(-4; 4)   [ab]=√32; bc=(5; 1)                       [bc]=√26; ac=(1; 5)                       [ac]=√26;   треугольник равнобедренный. основание сторона ав=√32=4√2

вариант решения.

пусть в пирамиде оавс сторона ао=3, со=4, во=12. 

для начала найдем длины сторон ∆ авс. 

по т. пифагора ав²=ao²+bo²=9+144=153

по т.пифагора вс²=ос²+ов²=16+144=160

ас=√(ао²+ос²)=√(9+16)=5

обозначим середину ас - н; ов =к; ао - м,; вс - р; ос - т;   ав -е. 

расстояние между серединами ас и ов - медиана нк в ∆ онв. 

он- медиана прямоугольного аос и равна ас: 2=2,5

формула медианы треугольника

          м=0,5•√(2a²+2b²-c²), где а.  b  и с  - стороны, причем с - сторона, к которой проведена медиана. 

тогдв м²=0,25•((2a²+2b²-c²) ⇒ 

вн²=0,25•(2•ab²+2•bc²-ac²)=0,25•(2•160+2•153-25)=0,25•601

нк=0,5•√(2•oh*+2*bh*-ob*)=0,5√(12,5+0,5•601-144)=0,5•13=6,5

аналогично вычисляются сначала  медианы ар и ор из ∆ авс и ∆ сов, затем   мр=6,5 из ∆ аро  и  медианы ат и вт из ∆ аос и ∆аов, затем те=6,5 из ∆ атв.

сумма найденных расстояний 3•6,5=19,5